Вариант 14. Показать, что система линейных уравнений имеет единственное решение, и найти его двумя способами

  • ID: 04525 
  • 14 страниц

Фрагмент работы:

Вариант 14. Показать, что система линейных уравнений имеет единств…

Задача 5.

Показать, что система линейных уравнений имеет единственное решение, и найти его двумя способами:

а) по правилу Крамера

б) матричным способом

Решение:

Вычислим определитель системы

так как..., то система имеет единственное решение.

а) Найдем решение системы по правилу Крамера

б) решим систему матричным способом.

Вычислим алгебраические дополнения:

Тогда обратная матрица равна

Решение системы в матричной форме запишется так:

Решения, найденные двумя способами совпадают.

Ответ:.........

Задача 15.

Пользуясь методом Гаусса, найти общее решение системы линейных уравнений, а также два частных ее решения, одно из которых базисное.

Решение:

Выпишем расширенную матрицу системы:

Умножим первую строку матрицы В на 3, прибавим ее ко второй. Умножим первую строку матрицы В на 5, прибавим ее к третьей. Умножим первую строку матрицы В на 4, прибавим ее к четвертой. Получим следующую матрицу:

Разделим третью строку на 3 и четвертую на 5, получаем

Прибавим к третьей и четвертой строк вторую

Последней матрице соответствует следующая система уравнений

В данном примере выберем за базисные переменные -...и..., за свободную переменную.... Выразим базисные неизвестные через свободную, получим общее решение системы уравнений:

Найдем частное решение СЛАУ:...

Базисное решение имеет вид:...

Ответ: общее решение СЛАУ...

частное решение СЛАУ:...

базисное решение СЛАУ:...

Задача 26.

Решить графически задачу линейного программирования.

Решение:

Найдем решение задачи линейно программирования графическим способом. Построим область допустимых решений (рис.1.). Для этого построим прямые ограничений, для чего вычислим координаты точек пересечения этих прямых с осями координат.

=...

=...

=...

Построим вектор С = (4, 1) и целевую функцию по уравнению:

=...

На рис. 1 видно, что оптимальное решение соответствует точке В, лежащей на пересечении прямых (1) и (2). Поэтому ее координаты находятся как решение системы линейных уравнений, задающих эти прямые:

При этом значение целевой функции

Рис. 1. Графическое решение задачи.

Ответ:...

Задача 37.

На трех базах.........имеется груз в количестве 270, 300, 230 единиц. Этот груз нужно перевезти в пять...............пунктов в количестве 170, 110, 200, 140, 180 единиц соответственно. Затраты на перевозку груза между пунктами поставок и потребления заданы матрицей тарифов...:

Спланировать перевозки так, чтобы их общая стоимость была минимальной.

Решение:

Проверим, является ли данная транспортная задача закрытой:

и...

Следовательно, данная транспортная задача закрытая. Найдем исходное решение по методу минимального тарифа.

Склады потребители запасы

25 70 12 200 7 18 10 270

+ -

35 40 13 12 80 15 180 3 300

- +

170 30 16 11 60 25 16 230

+ -

потребление 170 110 200 140 180 800

Число занятых клеток в таблице равно..., в нашем примере заполненных клеток оказалось 6, то есть условие невырожденности не выполнено. Поместим нулевую поставку в клетку (1, 2). Полученное исходное решение запишем в виде матрицы

Стоимость перевозки при исходном решении составляет:

Проверим найденное решение на оптимальность.

Вычислим потенциалы... и....

Пусть..., тогда находим остальные потенциалы, получаем:

1...11

19...12...7...14...2

Проверим условия оптимальности для незаполненных клеток:

=...

=...

=...

Условия оптимальности не выполнены для клеток (3,2) и (3,3). Следовательно, построенный план не оптимален.

Выполним перераспределение груза (перераспределение показано стрелочками). Получим новый опорный план.

Склады потребители запасы

25 110 12 160 7 18 10 270

- +

35 13 12 120 15 180 3 300

170 30 16 40 11 20 25 16 230

+ -

потребление 170 110 200 140 180 800

Стоимость перевозки составляет:

Проверим найденное решение на оптимальность.

Вычислим потенциалы... и....

Пусть..., тогда находим остальные потенциалы, получаем:

- 6...4

26...12...7...21...9

Проверим условия оптимальности для незаполненных клеток:

=...

=...

=...

Условия оптимальности не выполнены для клеток (1,1) и (1,4). Следовательно, построенный план не оптимален.

Выполним перераспределение груза (перераспределение показано стрелочками). Получим новый опорный план.

Склады потребители запасы

25 110 12 140 7 20 18 10 270

+ -

35 13 12 120 15 180 3 300

170 30 16 60 11 25 16 230

- +

потребление 170 110 200 140 180 800

Стоимость перевозки составляет:

Проверим найденное решение на оптимальность.

Вычислим потенциалы... и....

Пусть..., тогда находим остальные потенциалы, получаем:

-3...4

26...12...7...18...6

Проверим условия оптимальности для незаполненных клеток:

=...

=...

=...

Условия оптимальности не выполнено для клетки (1,1). Следовательно, построенный план не оптимален.

Выполним перераспределение груза (перераспределение показано стрелочками). Получим новый опорный план.

Склады потребители запасы

140 25 110 12 7 20 18 10 270

+ -

35 13 12 120 15 180 3 300

30 30 16 200 11 25 16 230

- +

потребление 170 110 200 140 180 800

Проверим найденное решение на оптимальность.

Вычислим потенциалы... и....

Пусть..., тогда находим остальные потенциалы, получаем:

-3...5

25...12...6...18...6

Проверим условия оптимальности для незаполненных клеток:

=...

=...

=...

Условия оптимальности не выполнено для клетки (3,2). Следовательно, построенный план не оптимален.

Выполним перераспределение груза (перераспределение показано стрелочками). Получим новый опорный план.

Склады потребители запасы

170 25 80 12 7 20 18 10 270

35 13 12 120 15 180 3 300

30 30 16 200 11 25 16 230

потребление 170 110 200 140 180 800

Стоимость перевозки составляет:

Проверим найденное решение на оптимальность.

Вычислим потенциалы... и....

Пусть..., тогда находим остальные потенциалы, получаем:

-3...4

25...12...7...18...6

Проверим условия оптимальности для незаполненных клеток:

=...

=...

=...

Условия оптимальности выполнены для всех клеток. Следовательно, построенный план оптимален.

Ответ:......

Задача 45.

Составить экономико-математическую модель. Найти решение задачи линейного программирования при помощи средств Excel на ПК.

При подкормке посева нужно внести на 1 га почвы не менее 10 ед. химического вещества А, 25 ед. вещества Б, 20 ед. вещества В. Сельскохозяйственное предприятие закупает комбинированные удобрения четырех видов (I, II, III, IY). В таблице указаны содержание химических веществ и цена за единицу массы каждого вида удобрений. Минимизировать расходы по закупке необходимого количества удобрений.

Химическое вещество Содержание вещества в единице массы удобрения

1 2 3 4

А 1 5 2 1

Б 12 3 3 2

В 4 4 2 2

Цена 5 3 2 3

Решение:

Введем следующие обозначения:

x1 - удобрение первого вида

x2 - удобрение второго вида

x3 - удобрение третьего вида

x4 - удобрение четвертого вида

Используя данные таблицы, определим необходимое количество каждого вида удобрений для закупки предприятием х = (х1, х2, х3, х4):

Химическое вещество А= х1 + 5х2 + 2х3 + х4

Химическое вещество Б = 12х1 + 3х2+3х3+ 2х4

Химическое вещество В = 4х1 + 4х2 + 2х3 + 2х4

Так как при подкормке посева нужно использовать не менее определенного количества химических веществ, то имеем следующие ограничения

х1 + 5х2 + 2х3 + х4 ?10

12х1 + 3х2+3х3+ 2х4 ?25

4х1 + 4х2 + 2х3 + 2х4?20

Кроме того также должны выполняться условия неотрицательности переменных х1, х2, x3, x4, т.е. х1 ? 0, х2 ? 0, x3? 0, x4? 0.

Целевая функция модели должна выражать основную цель деятельности предприятия: план покупки химических веществ при минимальных расходах.

Если обозначить функцию расходов через Z, то:

Z = 5х1 +3 х2+2х3 + 3х4

а основная цель может быть выражена так: минимизировать целевую функцию

Таким образом, математическая модель максимизации прибыли предприятия может быть записана в следующем виде.

Найти неизвестные значения переменных х1, х2, x3, x4, удовлетворяющие ограничениям

х1 + 5х2 + 2х3 + х4 ?10

12х1 + 3х2+3х3+ 2х4 ?25

4х1 + 4х2 + 2х3 + 2х4?20

х1 ? 0, х2 ? 0, x3? 0, x4? 0.

Z = 5х1 +3 х2+2х3 + 3х4? min.

Решим эту задачу с помощью Excel. Введем следующую таблицу, составленную из коэффициентов задачи (таблица 1).

В итоге получаем следующую закупку удобрений:

Удобрение первого вида -...(ед)

Удобрение второго вида -...(ед)

Удобрение третьего вида -...(ед)

Удобрение четвертого вида -...(ед).

При этом расходы составят:...ден.ед.

Таблица 1. решение задачи с помощью Microsoft Excel.

Ответ:...............ден.ед.