Шифр 50: задачи 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9

  • ID: 43821 
  • 14 страниц

Фрагмент работы:

Задача 1. Даны вершины треугольника А(9;3), В (1;9), С (5;11).

Сделать чертеж и найти:

1) длину стороны АВ;

внутренний угол при вершине А;

уравнение высоты CD, проведенной через вершину С;

уравнение медианы ВЕ, проведенной через вершину В;

точку пересечения высоты CD и медианы ВЕ;

длину высоты, опущенной из вершины С.

Решение: Начнем решение задачи с выполнения чертежа. Построим точки А(9;3), В (1;9), С (5;11) в прямоугольной системе координат Oxy и, соединив их, получим треугольник АВС. Проведем высоту СD и медиану ВЕ, уравнения которых необходимо найти. Причём, [image], а точка Е – середина отрезка АС.

[image]

1. Длину стороны АВ находим как расстояние между двумя точками А(9;3) и В (1;9):

[image]

[image].

2. Отметим, что угол А в треугольнике является острым. Тангенс этого угла можно найти по формуле

[image].

Найдем угловые коэффициенты прямых:

[image], [image].

Тогда, [image].

С помощью калькулятора или по таблице Брадиса определяем, что такое значение тангенса соответствует углу [image]А[image]26,60.

3. Уравнение высоты СD запишем в виде уравнения пучка прямых, проходящих через точку С: [image].

По условию перпендикулярности СD и АВ: [image]

Ранее (см. п. 2) было найдено: [image].

Тогда, [image].

Подставим в уравнение [image], получим [image] 4. Медиана ВЕ соединяет вершину В с точкой Е, которая является серединой отрезка АС. Координаты точки Е:

[image], [image].

Составим уравнение медианы ВЕ по двум точкам [image] и [image], воспользовавшись формулой: [image].

5. Координаты точки пересечения высоты CD и медианы ВЕ найдем, решив систему уравнений для прямых СD и ВЕ:

[image].

6. Длину высоты найдем как расстояние от точки С до прямой АВ по формуле: [image]

Уравнение прямой АВ составим, используя уравнение пучка прямых:

[image], где [image].

Получим [image].

Тогда, [image].

Задача 2. Показать, что система линейных уравнений имеет единственное решение, и найти его двумя способами: а) по правилу Крамера; б) матричным способом

[image]

Решение:

а) решим эту систему по формулам Крамера

Найдем главный определитель системы