Контрольная работа 2, 3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

  • ID: 43234 
  • 7 страниц

Фрагмент работы:

Задание 71. Найти наибольшее и наименьшее значение функции... на отрезке....

Решение: вычислим экстремумы функции.... Для этого найдем критические точки данной функции, то есть нули первой производной функции:....

При значении......, а при......, то... - является точкой минимума. Наименьшее значение функция принимает в точке... и равно.... Наибольшее значение функция принимает в точке... или.... Значение функции в этих точках равно....

Тогда наименьшее значение равно....

Ответ:

Задание 81. Провести исследование функции методами дифференциального исчисления (область определения, непрерывность, экстремумы, асимптоты) и построить ее график

1. Область определения функции.

Так как..., то....

2. Четность и нечетность функции.

==> функция обладает свойствами нечетной функции, то есть график функции симметричен относительно начала координат. Поэтому достаточно рассмотреть случай....

3. Асимптоты.

Функция непрерывна на всей действительной оси, значит вертикальных асимптот функция не имеет.

а) Горизонтальные асимптоты:

в) наклонные

y=k?x+b

Наклонная асимптота отсутствует.

4. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: полагаем x=0, тогда....

С осью OX: полагаем y=0, тогда... ==>....

5. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем производную функции.

при......: получим...- критические точки.

Проверим достаточные условия экстремума:

значит x = 2 точка максимума.

Максимальное значение....

Составим таблицу для определения знака первой производной

x (-?;-2) -2 (-2;2) 2 (2;...)

- 0 + 0 -

y убывает min

ymax=... возрастает max

ymax=... убывает

6. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную

:... - точки перегиба....

Составим таблицу для определения знака второй производной

x (-?;...)... (...;0) 0 (0;...)... (...;+?)

- 0 + 0 + 0 -

y выпукла вогнута вогнута выпукла

Построим график функции:

Задание 91. Провести исследование функции (область определения, непрерывность, экстремумы, асимптоты) и построить ее график

1. Область определения функции:....

2. Четность и нечетность функции.

==> функция не обладает свойствами четной и нечетной функции.

3. Асимптоты.

а) вертикальные асимптоты..., тат как функция имеет разрыв в этих точках.

Так как пределы для точки... равен бесконечности, то точки... является точкой разрыва 2-го рода.

б) горизонтальные асимптоты отсутствуют ввиду области определения функции.

в) наклонные y=k?x+b асимптоты отсутствуют так как....

4. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: отсутствуют так как....

С осью OX: полагаем y=0, тогда....

5. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем производную функции.

Составим таблицу для определения знака первой производной

x (0;...)... (...;...)

+ 0 +

y возрастает... возрастает

6. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную

Составим таблицу для определения знака второй производной

x (0;...)... (...;...)

- 0 -

y выпукла... выпукла

Построим график функции:

Задание 101. Найти неопределённый интеграл. В пунктах а) и б) результаты проверить

дифференцированием.

а)....

Проверка:

верно.

б)

Проверка:

в)

Решая систему уравнений, получим:...

г)...

Задание 111. Вычислить интеграл или доказать расходимость несобственного интеграла.

Решение:

Интеграл равен конечному числу. Значит, интеграл сходится.

Задание 121. Сделать чертеж и вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:...

Решение:

Выполним чертеж:

Найдем точки пересечения гиперболы и прямой, решив систему уравнений:

Заштрихуем плоскую фигуру, ограниченную кривой и прямой. Здесь функции

ограничивают фигуру соответственно снизу и сверху.

Для нахождения искомой площади воспользуемся формулой

Ответ: Искомая площадь....