Билет 4. Определенный интеграл.определения и свойства. Ответ.Y X Пусть функция. определена на отрезке

Фрагмент работы:

Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Дистанционное обучение

1 курс 1 семестр. «Математический анализ». Экзамен

Билет 4

1. Определенный интеграл: определения и свойства.

Ответ:

Y

…

0 X

…

Пусть функция…определена на отрезке…. Внутри отрезка возьмем n последовательных точек….Обозначим….Весь отрезок разобьется на…частичных промежутков. В каждом промежутке возьмем по точке…,…,…,…,…. Найдем значения функции…и длины промежутков…,…,…. Составим сумму…, которая называется интегральной суммой. Обозначим через…длину наибольшего промежутка, т.е.…. Устремим…к бесконечности, так чтобы…стремилось к нулю.

Конечный предел последовательности…(если он существует) при…, который не зависит не от способа разбиения отрезка…на…промежуток, ни от выбора точек…называется определенным интегралом функции…на отрезке…и обозначается…Функция…называется интегрируемой функцией, число…- называется нижним пределом интегрирования, число…- называется верхним пределом интегрирования, отрезок…- отрезком интегрирования.

Непрерывная на отрезке…функция является интегрируемой на….

1. Формула Ньютона-Лейбница. Если у функции…первообразная…является элементарной функцией, то для нахождения определенного интеграла используют формулу Ньютона – Лейбница:…

2. Если…и…- две непрерывные функции, заданные на промежутке [a, b], то

….

3. Если…- непрерывна на промежутке [a, b], a c – постоянное число, то

….

4. Если…- непрерывна на промежутке [a, b], Если этот промежуток точкой c разложен на части [a, c] и [с, b], то интеграл по всему промежутку оказывается равен сумме интегралов по его частям, то есть

….

5. Если…- любая функция, определенная в точке a, то по определению

….

2. Производная сложной функции. Производная обратной функции.

Ответ:

Производная сложной функции.

Пусть…- функция, дифференцируемая в точке…,…- функция, дифференцируемая в точке…, причем…. Тогда…- сложная функция независимого переменного…, дифференцируема в точке…и ее производная в этой точке вычисляется по формуле….

Обычно…называют внешней функцией, а…- внутренней. При вычислении производной сложной функции сначала дифференцируют внешнюю функцию, не обращая внимания на внутреннюю (ведь она может быть любой), затем умножают на производную конкретной внутренней функции.

Производная обратной функции.

Дифференцируемая монотонная функция…с необращающейся в нуль производной имеет обратную дифференцируемую функцию…, производная которой вычисляется по формуле:….

3. Найти асимптоты кривой…

Решение:

Область определения функции:….

Вертикальная асимптота:….

Горизонтальные асимптоты:…. Значит…- горизонтальная асимптота.

Наклонные асимптоты:…. Отсутствуют.

4. Найти экстремумы функции….

Решение:

Необходимым условием существования экстремума функции двух переменных: если функция…достигает экстремума в точке…, то есть частные производные первого порядка в этой точке равны нулю:….

Получим:

….

Проверим достаточное условие существования экстремума двух переменных.

Предварительно вычислим значения:

…

Получим:

…

Тогда:

…- значит функция…в точке…экстремумом не является.

Далее

…

Получим:

…

Тогда:

…- значит функция…в точке…достигает максимума.

5. Найти интеграл….

6. Вычислить интеграл…

….

7. Исследовать сходимость интеграла…. Интеграл расходится.

8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями….

Решение:

Выполним чертеж:

…

Найдем точки пересечения параболы и прямой, решив систему уравнений:

….

Здесь функции…,…ограничивают фигуру соответственно снизу и сверху.

Для нахождения искомой площади воспользуемся формулой

…

Ответ: Искомая площадь….

…