Контрольная работа 5, 6: вариант 1

  • ID: 43037 
  • 8 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа 5, 6: вариант 1

Контрольная работа №5

Вариант 1

№ 511. Вычислить объем тела..., ограниченного кривыми...

Решение:

Кривая... - окружность радиуса 4 в плоскости XY.

Кривая... - парабола....

Выполним чертеж:

Точки пересечения кривых в плоскости XY:.........

Воспользуемся формулой для вычисления объема заданной фигуры:

№ 521. Вычислить площадь, перейдя к полярным координатам.

Решение:

Кривая... - окружность радиуса 3 с центром в точке....

Кривые... - прямые.

Выполним чертеж:

Воспользуемся формулой для вычисления площади ограниченной кривыми:

Перейдем к полярным координатам:

В итоге получим:

так как....

Ответ:....

№ 531. Вычислить массу тела. Плотность тела задана функцией......

Решение:

Массу тела определим по формуле:

Область D показана на рисунке:

В итоге масса тела равна:....

№ 541. Вычислить криволинейный интеграл..., причем....

Решение:

В полярной системе координат элемент кривой определяется по формуле:...

Так как..., то получим:

Ответ:....

№ 551. Вычислить работу... вдоль кривой..., причем....

Решение:

Вычислим работу:

Получим:....

№ 561. Проверить, что интеграл не зависит от пути интегрирования и вычислить его.

Решение:

Введем обозначение:... и....

Вычислим:....... Так как..., то интеграл не зависит от пути интегрирования.

Вычислим интеграл вдоль прямой....

Тогда:...

Ответ:....

№ 571. Используя формулу Остроградского найти поток векторного поля... через внешнюю сторону поверхности...

Решение:

Воспользуемся формулой Остроградского:..., в нашем случае....

Получим:...

Область D:... - круг радиуса 1. Для вычисления интеграла перейдем к полярной системе координат:...

В итоге получим:

Ответ:....

Контрольная работа №6

№ 611. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд....

Решение:

Исследуем на сходимость ряд....

Применим интегральный признак:....

Интеграл сходится, следовательно, исходный ряд сходится абсолютно. Значит, интеграл сходится условно тем более.

№ 621. Найти область сходимости....

Решение:

Ищем радиус сходимости ряда, используя формулу Даламбера:..., в нашем случае.... Тогда....

При... - ряд сходится. Вычислим поведение ряда на концах интервала:

При...:... - ряд знакочередующийся.

Так как... и... то есть..., то по теореме Лейбница ряд сходится.

При...:....

Сравним с гармоническим рядом:......, начиная с....

Так как гармонический ряд расходится, значит расходится и ряд....

Ответ: Ряд сходится при...

№ 631. Вычислить... с точностью до 0,001.

Решение:

Используем разложение:

Получим:...

Ответ:....

№ 641. При начальных условиях найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд функции..., являющейся решением заданного дифференциального уравнения....

Решение:

Ищем решение в виде разложения в степенной ряд функции...:

Найдем три первых, отличных от нуля члена степенного ряда:

Тогда три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд, будут иметь вид:

№ 651. Разложить в ряд Фурье функцию... в интервале....

Решение:

Ряд Фурье для интервала... имеет вид:..., где

В нашем случае:..., то есть... - четная функция, тогда....

Вычислим:

Ответ:....