Вариант 11: задачи 2, 12, 29, 34, 42

  • ID: 04287 
  • 10 страниц

Фрагмент работы:

Вариант 11: задачи 2, 12, 29, 34, 42

Задача 2.

Показать, что система линейных уравнений имеет единственное решение, и найти его двумя способами:

а) по правилу Крамера

б) матричным способом

Решение:

Вычислим определитель системы

так как..., то система имеет единственное решение.

а) Найдем решение системы по правилу Крамера

б) решим систему матричным способом.

Вычислим алгебраические дополнения:

Тогда обратная матрица равна

Решение системы в матричной форме запишется так:

Решения, найденные двумя способами совпадают.

Ответ:.........

Задача 12.

Пользуясь методом Гаусса, найти общее решение системы линейных уравнений, а также два частных ее решения, одно из которых базисное.

Решение: Выпишем расширенную матрицу системы:

Найдем решение методом Гаусса:

Возьмем за базисные неизвестные... и..., за свободную.... Выразим базисные неизвестные через свободную.

Найдем частное решение СЛАУ:...

Базисное решение имеет вид:...

Ответ: общее решение СЛАУ...

частное решение СЛАУ:...

Базисное решение имеет вид:...

Задача 29.

Решить графически задачу линейного программирования.

Решение:

Найдем решение задачи линейно программирования графическим способом. Построим область допустимых решений (рис.1.). Для этого построим прямые ограничений, для чего вычислим координаты точек пересечения этих прямых с осями координат.

=...

=...

=...

=...

Построим вектор С = (1, 1) и целевую функцию по уравнению:

=...

На рис. 1 видно, что оптимальное решение соответствует точке D, лежащей на пересечении прямых (2) и (4). Поэтому ее координаты находятся как решение системы линейных уравнений, задающих эти прямые:

При этом значение целевой функции

Рис. 1. Графическое решение задачи.

Ответ:...

Задача 34.

На трех базах......... имеется груз в количестве 200, 240, 160 единиц. Этот груз нужно перевезти в пять...............пунктов в количестве 130, 170, 100, 90, 110 единиц соответственно. Затраты на перевозку груза между пунктами поставок и потребления заданы матрицей тарифов.... Спланировать перевозки так, чтобы их общая стоимость была минимальной.

Решение: Проверим, является ли данная транспортная задача закрытой:

и.........

Следовательно, данная транспортная задача закрытая. Найдем исходное решение по методу минимального тарифа

Склады потребители запасы

9 6 100 17 20 11 80 8 200

+ -

13 170 4 9 70 5 7 240

- +

130 6 7 14 10 30 6 160

потребление 130 170 100 90 110 600

Число занятых клеток в таблице равно..., то есть условие невырожденности выполнено. Полученное исходное решение запишем в виде матрицы

Стоимость перевозки при исходном решении составляет:

Проверим найденное решение на оптимальность. Вычислим потенциалы... и....

Пусть..., тогда находим остальные потенциалы, получаем:

-6...-2

8...10...17...11...8

Проверим условия оптимальности для незаполненных клеток:

=...

=...

=...

Условия оптимальности не выполнены для клеток (1,2), (2,3), (3,2), (3,3). Следовательно, построенный план не оптимален.

Выполним перераспределение груза (перераспределение показано стрелочками). Получим новый опорный план.

Склады потребители запасы

9 20 6 100 17 11 80 8 200

+ -

13 150 4 9 90 5 7 240

- +

130 6 7 14 10 30 6 160

потребление 130 170 100 90 110 600

Полученное решение имеет вид:...

Стоимость перевозки составляет:

Проверим найденное решение на оптимальность. Вычислим потенциалы... и....

Пусть..., тогда находим остальные потенциалы, получаем:

-2...-2

8...6...17...7...8

Проверим условия оптимальности для незаполненных клеток:

=...

=...

=...

Условия оптимальности не выполнены для клеток (2,3), (3,3). Следовательно, построенный план не оптимален.

Выполним перераспределение груза (перераспределение показано стрелочками). Получим новый опорный план.

Склады потребители запасы

9 120 6 17 11 80 8 200

13 50 4 100 9 90 5 7 240

130 6 7 14 10 30 6 160

потребление 130 170 100 90 110 600

Полученное решение имеет вид:...

Стоимость перевозки составляет:

Проверим найденное решение на оптимальность. Вычислим потенциалы... и....

Пусть..., тогда находим остальные потенциалы, получаем:

-2...-2

8...6...11...7...8

Проверим условия оптимальности для незаполненных клеток:

=...

=...

=...

Условия оптимальности выполнены для всех клеток. Следовательно, построенный план оптимален.

Ответ:......

Задача 42.

Составить экономико-математическую модель. Найти решение задачи линейного программирования при помощи средств Excel на ПК.

Торговое предприятие реализует товары Т1, Т2, Т3, Т4, используя при этом площади торговых залов, оборудование и время обслуживающего персонала. Затраты на продажу одной партии товара каждого вида, их объемы и прибыль, получаемая от реализации каждой партии товара, приведены в таблице. Найти оптимальную структуру товарооборота, обеспечивающую предприятию максимальную прибыль.

ресурсы Запас ресурса Затраты ресурсов на товары

Т1 Т2 Т3 Т4

Время, чел.-ч 370 0,5 0,7 0,6 0,5

Оборудование, маш.-ч 100 0,3 0,4 0,2 0,3

Площадь, м2 90 0,1 0,3 0,2 0,2

Прибыль, ден.ед. 5 8 6 6

Решение:

Введем следующие обозначения:

x1 - количество товара Т1

x2 - количество товара Т2

x3 - количество товара Т3

x4 - количество товара Т4

Так как выпуск товаров не должен превышать запасов ресурсов, то имеем следующие ограничения

Время = 0,5х1 + 0,7х2+0,6х3 + 0,5х4 ? 370

Оборудование = 0,3х1 + 0,4х2+0,2х3 +0,3х4 ? 100

Площадь = 0,1х1 + 0,3х2+0,2х3 +0,2х4 ? 90

Кроме того также должны выполняться условия неотрицательности переменных х1, х2, x3, x4, т.е. х1 ? 0, х2 ? 0, x3? 0, x4? 0.

Целевая функция модели должна выражать основную цель деятельности предприятия: оптимальная структура товарооборота, обеспечивающая торговому предприятию максимальную прибыль.

Если обозначить функцию прибыли через f, то:

f = 5х1 +8х2+6х3 + 6х4

а основная цель может быть выражена так:

максимизировать целевую функцию f = 5х1 +8х2+6х3 + 6х4

Таким образом, математическая модель максимизации прибыли предприятия может быть записана в следующем виде.

Найти неизвестные значения переменных х1, х2, x3, x4, удовлетворяющие ограничениям

0,5х1 + 0,7х2+0,6х3 + 0,5х4 ? 370

0,3х1 + 0,4х2+0,2х3 +0,3х4 ? 100

0,1х1 + 0,3х2+0,2х3 +0,2х4 ? 90

х1 ? 0, х2 ? 0, x3? 0, x4? 0.

и доставляющие максимальное значение целевой функции

f = 5х1 +8х2+6х3 + 6х4? max.

Решим эту задачу с помощью Excel. В итоге получаем следующую структуру товарооборота:

x1 =50 - количество товара Т1

x2 = 0 - количество товара Т2

x3 = 425 - количество товара Т3

x4 = 0 - количество товара Т4

При этом прибыль составит:...ден.ед.

Ответ:...............ден.ед.