Задания. Производная функции.определение, геометрический и механический смысл

  • ID: 42863 
  • 7 страниц

Фрагмент работы:

Задания. Производная функции.определение, геометрический и механич…

Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики

1 курс 1 семестр. "Математический анализ".

1. Производная функции: определение, геометрический и механический смысл.

Ответ:

Определение производной

Пусть функция...определена на интервале.... Пусть число.... Придадим... приращение...так, чтобы.... Приращение аргумента...вызовет приращение функции.... Предел (если он существует) отношения приращения функции... к приращению аргумента... при... называется производной функции... и обозначается..., т.е.

При этом сама функция... называется дифференцируемой.

Для обозначения производной также используются следующие символы:....

Геометрический смысл производной.

Пусть задана функция....

На рис. 1 видно, для любых двух точек A и B графика функции:

где ? - угол наклона секущей AB.

Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то... неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.

Механический смысл производной.

Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки - известная функция x (t) времени t. В течение интервала времени от... до... точка перемещается на расстояние: x (...) ? x (...) =..., а её средняя скорость равна:.... При... значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью v (...) материальной точки в момент времени.... Но по определению производной мы имеем:

отсюда, v (...) = x' (...), т.e. скорость - это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение - это производная скорости по времени: a = v' (t).

2. Неопределенный интеграл и его основные свойства.

Ответ:

Функция F...(x) называется первообразной от функции f(x) на отрезке [a;b], если во всех точках этого отрезка выполняется равенство F'(x)=f(x).

Если... - первообразная функции..., то... тоже первообразная данной функции.

Множество всех первообразных F(x)+C функции f(x) называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается....

Символ...называется интегралом... называется подынтегральной функцией... называется подынтегральным выражением... называется переменной интегрирования.

Свойства неопределенного интеграла.

Неопределенный интеграл обладает следующими свойствами:

Таблица интегралов

1.... 2....

3.... 4....

5.... 6....

7.... 8....

9.... 10....

11.... 12....

13....

3. Найти среднее значение функции:... на отрезке [0;2].

Решение:

Вычислим значение функции на концах отрезка:

Среднее значение вычислим по формуле:....

4. Найти..., если..., где....

Решение:

Рассмотрим функцию....

5. Найти интеграл...

6. Исследовать и построить график....

Решение:

1. Область определения функции:....

2. Четность и нечетность функции.

==> функция не обладает свойствами четной и нечетной функции.

3. Асимптоты.

а) вертикальные асимптоты..., тат как функция имеет разрыв в этих точках.

Так как предел для точки... конечен, то точка... является точкой разрыва 1-го рода.

Так как предел для точки... равны бесконечности, то точка... является точкой разрыва 2-го рода.

б) горизонтальные асимптоты отсутствуют ввиду области определения функции.

в) наклонные y=k?x+b асимптоты отсутствуют так как....

4. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: отсутствуют так как....

С осью OX: полагаем y=0, тогда....

5. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем производную функции.

Составим таблицу для определения знака первой производной

x (0;1) 1 (1...)... (...;...)

- нет - 0 +

y убывает разрыв убывает min

возрастает

6. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную

Составим таблицу для определения знака второй производной

x (0;...)... (...;...)

+ 0 -

y вогнута... выпукла

Построим график функции:

7. Исследовать сходимость интеграла...

Интеграл сходится.

8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями....

Решение:

Выполним чертеж

Найдем точки пересечения параболы и прямой, решив систему уравнений:

Заштрихуем плоскую фигуру, ограниченную кривой и прямой. Здесь функции

ограничивают фигуру соответственно снизу и сверху.

Для нахождения искомой площади воспользуемся формулой

Ответ: Искомая площадь....