Задания. Производная функции.определение, геометрический и механический смысл

  • ID: 42863 
  • 7 страниц

Фрагмент работы:

Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики

1 курс 1 семестр. «Математический анализ».

1. Производная функции: определение, геометрический и механический смысл.

Ответ:

Определение производной

Пусть функция определена на интервале [image]. Пусть число [image]. Придадим [image] приращение [image]так, чтобы [image]. Приращение аргумента [image]вызовет приращение функции [image]. Предел (если он существует) отношения приращения функции [image]к приращению аргумента [image] при [image] называется функции [image] и обозначается [image], т.е.

[image][image].

При этом сама функция [image] называется

Для обозначения производной также используются следующие символы: [image].

Геометрический смысл производной.

Пусть задана функция

[image]

На рис. 1 видно, для любых двух точек A и B графика функции:

[image]

где a - угол наклона секущей AB.

Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то [image] неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует:В этом и состоит производной.

Механический смысл производной.

Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата движущейся точки – известная функция x (t) времени t. В течение интервала времени от [image] до [image]точка перемещается на расстояние: ([image]) - ([image]) =[image], а её равна: [image]При [image] значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется ([image]) материальной точки в момент времени [image]. Но по определению производной мы имеем:

[image]

отсюда,([image])([image]) , т.e.В этом и состоит производнойАналогично, : = ().

2. Неопределенный интеграл и его основные свойства.

Ответ:

Функция называется от функции на отрезке [a;b], если во всех точках этого отрезка выполняется равенство

Если [image] - первообразная функции [image], то [image] тоже первообразная данной функции.

Множество всех первообразных функции называется функции и обозначается [image].