Вариант 2. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса

  • ID: 42833 
  • 6 страниц

Фрагмент работы:

Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса.

Дано: [image]

Решение:

Запишем систему алгебраических уравнений в матричной форме [image] и решим ее методом Гаусса и с помощью обратной матрицы [image].

[image], где [image], [image], [image].

1) Найдем главный определитель системы

Т.к. определитель системы не равен 0, то система имеет единственное решение. Найдем его по правилу Крамера

[image]

[image]

[image]

2). Для того чтобы решись систему методом Гаусса, последовательно выполним преобразования, приводящие матрицу к треугольному виду:

Видно, что ранг матрицы A равен рангу расширенной матрицы, а значит, система линейных алгебраических уравнений совместна.

Получим систему уравнений вида:

[image]

Ответ: [image].

Задание 2. Даны координаты вершин пирамиды [image]. Найти:

1) длину ребра [image];

2) угол между ребрами [image] и [image];

3) площадь грани [image];

4) уравнение плоскости [image];

5) уравнение высоты пирамиды, опущенной из вершины [image] на грань [image].

[image], [image], [image], [image]

Решение:

1. Расстояние между двумя точками определяется формулой: [image].

Получим: [image]

2. [image], [image],

[image], [image].

Тогда: [image],

[image].

3. Для вычисления площади грани [image] потребуются вектора [image] и [image].

Вычислим векторное произведение этих векторов: [image].

[image].

Тогда площади грани [image] равна: [image].

4. Определим уравнение грани [image] по формуле: [image]. Преобразуя, получим [image].

[image] или уравнение грани [image] примет вид: [image].

5. Уравнение высоты, опущенной из вершины [image] на грань [image]:

[image].

Задание 3. Найти пределы функций:

а) [image].

б) [image].

в) [image].

Задача 4. Найти значение производных данных функций в точке [image].

Решение:

а) [image].

[image].

Тогда:

[image].