Шифр 49: задачи 8, 19, 23, 38, 44, 59, 61, 78, 86

  • ID: 42825 
  • 14 страниц

Фрагмент работы:

Шифр 49: задачи 8, 19, 23, 38, 44, 59, 61, 78, 86

Задача. 8 Даны вершины треугольника:

А (2; - 2), В (-1; 2), С (4; 2);

Сделать чертеж и найти:

длину стороны АВ;

внутренний угол при вершине А;

уравнение высоты, проведенной через вершину С;

уравнение медианы, проведенной через вершину В;

точку пересечения медианы ВЕ и высоты СD;

длину высоты, опущенной из вершины С.

1) Длину стороны АВ находим как расстояние между двумя точками А(2;0) и В(-1;4):

AB=...

2) Отметим, что угол А в треугольнике является острым. Тангенс этого угла можно найти по формуле. Для поиска угла воспользуемся формулой.... В данном случае k1=kАС, а k2=kАВ. Найдем угловые коэффициенты по формуле:....

;...

Тогда..., ==> ?=arctg 2 ? 1,107 рад

3) Составим уравнение высоты CD. Высота CD перпендикулярна стороне AB. По условию перпендикулярности двух прямых

Составим уравнение высоты CD по известной точке и угловому коэффициенту:

=...

y-2=...(x-4)

4y-8=3x-12

=...

4) Найдем координаты точки E как координаты середины отрезка AC.

Запишем уравнение медианы BE по 2 точкам:

x+1=-2y+4

=...

5) Координаты точки пересечения высоты CD и медианы BE найдем, решим систему уравнений CD и BE:

==>..., ==>..., ==>...

6) Найдем длину высоты CD по формуле для расстояния от точки до прямой:

Составим уравнение прямой AB по угловому коэффициенту и точке A, принадлежащей прямой:

=...

y+2=...(x-2)

3y+6=-4x+8

=...

Тогда...

Сделаем чертеж:

Ответы:

1)... 2) ?=arctg 2 ? 1,107 рад 3) 3x-4y-4=0 - уравнение высоты СD;

4) x+2y-3=0 - уравнение медианы ВЕ; 5) К...; 6)...

Задача 19. Вычислить пределы функции y=f(x), при указанном поведении аргумента x.

;

а)... б )... в)... г)... д)...

Решение: В задаче следует найти предел частного. С этой целью необходимо вычислить пределы числителя и знаменателя дроби, подставив в них предельное значение аргумента.

а)...

Здесь применима теорема о пределе частного, так как существуют конечные пределы числителя и знаменателя, и предел знаменателя не равен нулю.

б)...

Здесь использована теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций.

в)...

Здесь применима теорема о пределе частного.

г)...

При подстановке... в знаменатель и числитель дроби убеждаемся, что значения равны нулю, поэтому теорема о пределе частного здесь не применима. Неопределенность вида... при... может быть раскрыта сокращением дроби на множитель вида (х-х0), который обращает числитель и знаменатель дроби в нуль, в данном случае на (х+4). Поэтому, следует разложить на множители числитель и знаменатель дроби

=...

Здесь применима теорема о пределе частного, так как существуют конечные пределы числителя и знаменателя, и предел знаменателя не равен нулю.

д)....

Пределы числителя и знаменателя дроби равны.... В этом случае говорят, что имеется неопределенность вида "бесконечность на бесконечность". Теорема о пределе частного здесь не применима.

Чтобы раскрыть неопределенность вида... при..., каждый член числителя и знаменателя дроби делят на x в наивысшей степени (в нашем примере на х2), отчего величина дроби не изменится, но исчезнет неопределенность.

так как............

(по теореме о связи бесконечно большой и бесконечно малой функций).

Ответы....

Задача 23

Вычислить пределы: а)...; б)...

Решение

а)...

б)...

Ответ....

Задача 38. Найти производные данных функций и их дифференциалы

а)...; б)...; в)...;

г )...

Решение:

а)....

Приведем функцию y к виду, удобному для дифференцирования, используя правила действия со степенями

По правилу дифференцирования суммы и разности функции:

Тогда дифференциал функции y:....

б)...

Воспользуемся правилом дифференцирования частного

где...

Тогда дифференциал функции y:...

в)...

Функция... сложная. Ее можно представить в виде..., где...

Тогда...

Производную функции... находим по правилу дифференцирования произведения:

где...

Таким образом

Тогда дифференциал функции y:

г)...

Производную второго слагаемого найдем как производную сложной функции... где... применяя формулу

:

Производную функции... найдем как производную функции..., где... применяя формулу....

Таким образом...

Тогда дифференциал функции y:

Задача 44. Исследовать функцию y = f (x) средствами дифференциального исчисления и построить ее график

1. Область определения функции.

x?(-?;+?)

2. Четность и нечетность функции.

f(-x)=(-x)3-6(-x)2+9(-x)=-x3-6x2-9x??f(x), поэтому функция свойствами четности или нечетности не обладает

3. Периодичность функции.

Данная функция не является периодической как многочлен.

4. Непрерывность функции.

Данная функция является непрерывной на всей области определения как многочлен.

5. Поведение функции на концах области определения.

6. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем производную функции.

=...

=...

x2-4x+3=0

x1=1 x2=3

Составим таблицу для определения знака производной

x (-?;1) 1 (1;3) 3 (3;+ ?)

y' + 0 - 0 +

y возрастает максимум

ymax=4 убывает минимум

ymin=0 возрастает

7. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную

y"=6x-12

=...

x=2

Составим таблицу для определения знака второй производной

x (-?;2) 2 (2;+ ?)

y" - 0 +

y выпукла перегиб

yпер=2 вогнута

8. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: полагаем x=0, тогда y=0.

С осью OX: полагаем y=0, тогда.

=...

=...

x(x-3)2=0

x1=0 x2=3

9. Дополнительные точки.

=...

Построим график функции

Задача 59. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

а)... б)... в)... г)... д)...

Решение. Вычислим интеграл методом непосредственного интегрирования. При этом используются табличные интегралы от степенных функций:

а)...

Проверка:

Получена подынтегральная функция, что и требовалось показать.

б)...

За новую переменную возьмем показатель степени....

Тогда.........

Проверка:

Получена подынтегральная функция, что и требовалось показать.

в)...

Проверка:

Получена подынтегральная функция, что и требовалось показать.

г)...

Проверка:

Что и требовалось показать.

д)...

Под знаком интеграла стоит неправильная рациональная дробь, так как и в числителе и в знаменателе стоят многочлены первой степени (наивысшая степень...). Выделим целую часть с помощью следующих преобразований дроби:

Подставим полученное выражение под знак интеграла, получим

Проверка:......

Получена подынтегральная функция.

Задача 61. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями... и...

Сделать чертеж.

Решение: Выполним чертеж

Первое уравнение определяет параболу, а второе - прямую линию.

Найдем точки пересечения параболы и прямой, решив систему уравнений:

Решим полученное квадратное уравнение:...

Найдем соответствующие ординаты... из уравнения....... Итак, точки пересечения параболы и прямой есть точки....

Заштрихуем плоскую фигуру, ограниченную параболой и прямой. Здесь функции... и... ограничивают фигуру соответственно снизу и сверху, то есть... при....

Для нахождения искомой площади воспользуемся формулой

Ответ: Искомая площадь равна:...

Задача 78. Найти полный дифференциал функции двух переменных

Решение: Сначала находим частные производные.

здесь... и использована формула....

здесь... и использована формула....

Полный дифференциал функции:

Задача 86. Дана функция... и точка.......

Найти: а) градиент данной функции в точке М;

б) производную данной функции в точке М по направлению вектора.......

Решение:

а) Найдем частные производные:

Вычислим значения... в точке...:

Вектор-градиент равен:...

Величина скорости наибольшего роста функции:

б) Найдем направляющие косинусы вектора...:

;....

Подставим все найденные значения в формулу для производной по направлению:

Так как..., то функция... в точке... в направлении вектора... убывает со скоростью...

Ответ:...;...