Контрольная работа 1, 2: вариант 3

  • ID: 42640 
  • 10 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа 1, 2: вариант 3

Контрольная работа 1

Задача 13. Даны координаты вершин пирамиды.... Найти:

1) модули векторов...;

2) угол между векторами... и...;

3) угол между ребром... и гранью...;

4) площадь грани...;

5) объем пирамиды...;

6) уравнение прямой...;

7) уравнение плоскости...;

8) уравнение высоты, опущенной из вершины... на грань....

Решение:

1. Расстояние между двумя точками определяется формулой:....

Получим:...

2.......

Тогда:...

3. Для определения угла между ребром... и гранью..., определим уравнение грани... по формуле:.... Преобразуя, получим.... Получим:... или уравнение грани... примет вид:....

Угол определим по формуле:..., подставляя значения, получим:.......

4. Для вычисления площади грани... потребуются вектора... и....

Вычислим векторное произведение этих векторов:....

Тогда площади грани... равна:....

5. объем пирамиды... вычислим по формуле:....

В итоге получим:....

6. Используя формулу, определим уравнение прямой...:

Подставляя данные, получим:....

7. Уравнение плоскости... уже было найдено в пункте 3 и имеет вид:

8. Уравнение высоты, опущенной из вершины... на грань...:

А4

h А2

А1

А3

Задача 33. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки... и прямой... относится как....

Решение:

Обозначим через... произвольную точку, удовлетворяющую заданным условиям. Тогда расстояние от точки... до прямой... равно:.... Расстояние от точки... до точки...:....

По условию задачи....

Получим:....

Преобразуем:...Преобразуем:...

Получим:... - это уравнение гиперболы с центром в точке... и полуосями....

Чертёж:

Задача 53. Доказать совместность системы линейных уравнений и решить двумя способами: методом Гаусса и средствами матричного исчисления

Дано:...

Запишем систему алгебраических уравнений в матричной форме... и решим ее методом Гаусса и с помощью обратной матрицы....

где..........

1). Для того чтобы решись систему методом Гаусса, последовательно выполним преобразования, приводящие матрицу к треугольному виду:

4 -3 2 9 4 -3 2 9

2 5 -3 4 ? 0 -26 16 2 ?

5 6 -2 18 0 -39 18 -27

4 -3 2 9 4 -3 2 9

? 0 -26 16 2 ? 0 -26 16 2

0 -39 18 -27 0 0 -156 -780

Видно, что ранг матрицы A равен рангу расширенной матрицы, а значит, система линейных алгебраических уравнений совместна.

Получим систему уравнений вида:

2) решим эту систему матричным методом. В этом случае решение находится по формуле:

X=A-1?B

Найдем главный определитель системы

4 -3 2

=...

5 6 -2

Т.к. определитель системы не равен 0, то система имеет единственное решение. Найдем его с помощью обратной матрицы. Найдем алгебраические дополнения:

=...

6 -2 6 -2 5 -3

=...

5 -2 5 -2 2 -3

=...

5 6 5 6 2 5

Проверка:

Ответ:....

Контрольная работа 2

Задача 113. Вычислить пределы функций.

Решение:

a)...

б)....

в)....

г)....

Задача 123. Задана функция и два значение аргумента.

1. Установить непрерывность или разрыв в данных точках.

2. В случае разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и справа.

3. Выполнить схематический чертеж.

Решение:

1)... непрерывна в... и имеет разрыв в....

2)... - предел слева

- предел справа

В точке...... имеет разрыв 2-го рода, т.к. один из пределов равен бесконечности.

3)...

4) Строим график:

Задача 143. Для функции..., вычислить производную....

Решение:

а)....

б)...

в)...

г)...

д)....

Продифференцируем обе части равенства:...

Получим выражение для производной...:....

153. Найти... и...

1)...

2)...

Вычислим предварительно:

Тогда:

Задача 173. Найти наибольшее и наименьшее значение функции.......

Решение:

Вычислим и сравним:

x (0;...)... (...;...)

+ 0 -

y возрастает... убывает

В точке... минимум.

Значение функции на концах:......

Наибольшее значение функции:...

Наименьшее значение функции:...

Задача 193. Исследовать с помощью дифференциального исчисления функцию и построить ее график.

1. Область определения функции.

Так как..., то....

2. Четность и нечетность функции.

==> функция обладает свойствами четной функции, то есть график функции симметричен относительно оси Оy.

3. Асимптоты.

а) Вертикальными асимптотами функция являются прямые.... Исследуем характер точек разрыва функции:

Таким образом, точке...- разрыв 2-го рода.

Таким образом, точке...- разрыв 2-го рода.

б) Горизонтальные асимптоты:

Горизонтальная асимптота....

в) наклонные

y=k?x+b

Наклонная асимптота отсутствует.

4. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: полагаем x=0, тогда....

С осью OX: полагаем y=0, тогда... ==>точек пересечения нет.

5. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем производную функции.

при......: критическая точка.

Составим таблицу для определения знака первой производной

x (-?;-1) -1 (-1;0) 0 (0;1) 1 (2;...)

+ не сущ. + 0 - не сущ. -

y возрастает разрыв

2-го рода возрастает max

ymax=... убывает разрыв

2-го рода убывает

6. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную

:... - точек перегиба нет.

Построим график функции: