Контрольная работа 2: вариант 8

  • ID: 42608 
  • 11 страниц

Фрагмент работы:

Задача 1. Даны точки.... Требуется:

1) направляющие косинусы и орт вектора...;

2) угол между векторами... и...;

3) проекцию вектора... на вектор...;

4) работу равнодействующей сил... и... при прямолинейном перемещении ее точки приложения из положения A в положение D;

5) единичный вектор, перпендикулярный векторам... и...;

6) центр тяжести треугольника BCD;

7) показать, что векторы...... и... не компланарны;

8) найти объем тетраэдра, построенного на этих векторах, и его высоту, опущенную из вершины... на грань АВС.

Решение:

1)

={-1;3;3}

Находим направляющие косинусы:

Орт вектора... будет равен:...

2)

=...

=...

==>...

3)

={3;1;-4}

=...

Тогда

4) найдем равнодействующую сил... и...:

=...

=...

Тогда работа будет равна:

=...

5) вектор, перпендикулярный векторам... и..., находим как векторное произведение векторов... и...:

=...

-1 3 3 1 -4 3 -4 3 1

3 1 -4

=...

Найдем орт полученного вектора:

6) найдем центр тяжести треугольника BCD:

7)

=...

Составим определитель из координат этих векторов:

-1 3 3

=...

-12 10 9

Т.к. определитель не равен 0, то векторы не являются компланарными.

8) Найдем объем пирамиды, построенной на этих векторах:

Для нахождения высоты составим уравнение плоскости ABC по трем точкам:

x-x1 y-y1 z-z1

=...

x3-x1 y3-y1 z3-z1

x-2 y+1 z+2

=...

5-2 0+1 -6+2

=...

1 -4 3 -4 3 1

=...

=...

3x-y+2z-3=0 - уравнение плоскости АВС.

Длину высоты найдем по формуле расстояния от точки до плоскости:

Задача 2. Используя данные задачи 2, доказать, что векторы...... и... линейно независимы. Найти координаты вектора... в этом базисе.

Решение:

=...

Составим определитель из координат этих векторов:

12 -10 -9

=...

15 -9 -13

Т.к. определитель не равен 0, то векторы образуют базис. Найдем координаты вектора... в этом базисе. Для этого нужно найти решение системы уравнений:

Решим эту систему по формулам Крамера.

-1 11 15 140, ==>...

=...

3 -6 -13

12 -1 15 -140, ==>...

=...

-9 3 -13

12 11 -1 0, ==>...

=...

-9 -6 3

Таким образом, вектор... в базисе......... имеет координаты:...={-1;1;0}.

Задача 3. Дана матрица A линейного отображения в некотором ортогональном базисе. Привести матрицу А к диагональному виду путем перехода к новому ортогональному базису.

3 4 -4

4 -7 -4

-4 -4 3

Решение:

Найдем собственные значения линейного отображения. Для этого составляем характеристическое уравнение отображения и находим его корни:

=...

=...

=...

=...

=...

=...

=...

=...

=...

Таким образом, матрица А будет иметь следующий диагональный вид:

-9 0 0

0 -1 0

0 0 9

Задача 4. Найти матрицу преобразования, выражающего x2, y2, z2 через x, y, z.

Решение:

Для того чтобы найти преобразования, выражающие x2, y2, z2 через x, y, z, нужно перемножить матрицы преобразований:

1 -2 0 2 1 0

=...

0 7 -1 0 2 -2

1*2-2*0+0*0 1*1-2*(-5)+0*2 1*0-2*1+0*(-2) 2 11 -2

=...

0*2+7*0-1*0 0*1+7*(-5)-1*2 0*0+7*1-1*(-2) 0 -37 9

Таким образом

Задача 5. Даны 3 точки A, B и C. Найти:

1. Уравнения прямой АВ: а) через 2 точки; б) с угловым коэффициентом; в )в отрезках на осях.

2. Угол между прямой АВ и прямой 3x+2y+4=0.

3. Уравнения прямых, проходящих через точку С:

а) параллельно прямой АВ; б) перпендикулярно прямой АВ; в) под углом в 45° к прямой АВ.

4. Расстояние от точки C до АВ.

5. Центр тяжести треугольника АВС (как точка пересечения медиан).

6. Точку пересечения высот.

7. Написать уравнение окружности с центром в точке С и касающееся прямой АВ.

А(2;-3), В(4;7), С(8;1).

Решение:

1. Запишем уравнение прямой АВ по 2 точкам:

5x-10=y+3

y=5x-13 - с угловым коэффициентом

5x-y-13=0 - общее уравнение

5x-y=13

- в отрезках на осях.

2. Для поиска угла воспользуемся формулой....

Угловой коэффициент прямой АВ равен: k1=5. Угловой коэффициент прямой 3x+2y+4=0 равен k2=-.... Тогда

==>...

3.

а) поскольку прямая параллельна прямой АВ, то их угловые коэффициенты равны. Запишем уравнение прямой по угловому коэффициенту и точке, принадлежащей прямой:

=...

y-1=5(x-8)

y-1=5x-40

y=5x-39

б) Т.к. прямые перпендикулярны, то произведение их угловых коэффициентов равно -1. Тогда

=...

5y-5=-x+8

x+5y-13=0

в) для нахождения углового коэффициента прямой воспользуемся формулой:....

Т.к. угол между прямыми 45°, то

или...

или...

или...

или...

Получим две прямые:

y-1=...(x-8)

3y-3=2x-16

2x-3y-13=0

=...

=...

=...

4. Найдем расстояние от точки C до прямой АВ по формуле для расстояния от точки до прямой:

5. Найдем цент тяжести треугольника как точку пересечения медиан. Для этого составим уравнение хотя бы двух медиан, например, AD и СЕ.

Определяем координаты точки D как середины отрезка ВC:

Запишем уравнение медианы AD по 2 точкам:

=...

7x-4y-26=0 - уравнение медианы AD

Определяем координаты точки Е как середины отрезка АВ:

Запишем уравнение медианы CE по 2 точкам:

x-8=-5y+5

x+5y-13=0 - уравнение медианы CE

Находим точку их пересечения:

Таким образом, точка (...;...) является центром тяжести треугольника.

6. Найдем точку пересечения высот. Уравнение одной из высот (через точку С) уже было составлено: x+5y-13=0. Составим уравнение еще одной высоты, например, через вершину В.

==>...

=...

=...

=...

Находим точку их пересечения:

Таким образом, точка (8;1) является точкой пересечения высот.

7. Запишем уравнение окружности. Поскольку окружность касается прямой АВ, то ее радиус равен расстоянию до нее от точки С: R=....

Уравнение окружности имеет вид:

=...

=...

Задача 6. Привести уравнения кривых второго порядка к каноническому виду путем параллельного переноса системы координат. Найти основные параметры, схематично изобразить на чертеже.

=...

=...

=...

Решение:

a)

=...

=...

=...

=...

Получили уравнение гиперболы с центром симметрии (2;-1) и полуосями - действительной 4 и мнимой 3.

Сделаем замену переменных X=x-2, Y=y-2. Получим каноническое уравнение гиперболы:

Сделаем схематический чертеж:

b)

=...

=...

=...

Получили уравнение эллипса с центром (-2;-5) и полуосями... и 5.

Сделаем замену переменных X=x+2, Y=y+5. Получим каноническое уравнение эллипса:

Сделаем схематический чертеж:

c)

y=4x2-8x+7

=...

=...

Получили уравнение параболы.

Сделаем замену переменных X=x-1, Y=y-3. Получим каноническое уравнение параболы:

Сделаем схематический чертеж:

Задача 7. Даны координаты точек.... Требуется:

1. Составить уравнение плоскости ?, проходящей через точки А, В, С.

2. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку D перпендикулярно плоскости ?.

3. Найти проекцию точки D на плоскость ?.

4. Вычислить расстояние от точки D до плоскости ?.

5. Найти точку, симметричную точке D относительно плоскости ?.

6. Вычислить угол между прямой AD и плоскостью ?.

7. Вычислить угол между прямыми AD и AC.

Решение:

1. Находим уравнение плоскости, проходящей через три точки:

x-x1 y-y1 z-z1

=...

x3-x1 y3-y1 z3-z1

x+2 y-4 z+6

=...

4+2 2-4 1+6

=...

-2 7 6 7 6 -2

=...

=...

2x-y-2z-4=0 - уравнение плоскости ?.

2. Нормальный вектор плоскости ? будет направляющим вектором перпендикулярной прямой:

=...

Записываем уравнение прямой по точке, принадлежащей прямой, и направляющему вектору:

3. Проекцию найдем как точку пересечения прямой и плоскости. Перейдем к уравнению прямой в параметрической форме:

=...

Подставим выражения в уравнения плоскости:

=...

9t=-27

t=-3, ==>

=...

О(1;2;-2) - проекция точки D на плоскость....

4. Расстояние от точки до плоскости определяется по формуле:

где... - уравнение плоскости, а (x0,y0,z0) - координаты точки.

5. Пусть... - симметричная точка. Тогда точка O будет являться серединой отрезка.... Отсюда:

=2?1-7=-5

=2?2+1=5

=...

6. Найдем угол между прямой AD и плоскостью ?.

=...

=...

==>...

7. Найдем угол между прямыми AD и CD.

=...

=...

==>...