Контрольная работа 1: вариант 8

  • ID: 42607 
  • 4 страницы

Фрагмент работы:

№1. Вычислить опрелелитель.

Решение:

=...

=...

№2. Найти матрицу, обратную данной, и сделать проверку.

2 3 2

-1 2 -3

2 3 5

Решение:

Найдем главный определитель матрицы

2 3 2

=...

2 3 5

Найдем алгебраические дополнения:

=...

3 5 3 5 2 -3

=...

2 5 2 5 -1 -3

=...

2 3 2 3 -1 2

Тогда обратная матрица будет равна:

Проверка:

2 3 2 19 -9 -13

=...

2 3 5 -7 0 7

2*19+3*(-1)+2*(-7) 2*(-9)+3*6+2*0 2*(-13)+3*4+2*7 21 0 0 1 0 0

=...

2*19+3*(-1)+5*(-7) 2*(-9)+3*6+5*0 2*(-13)+3*4+5*7 0 0 21 0 0 1

№3. Решить систему линейных алгебраических уравнений: a) по формулам Крамера; b) с помощью обратной матрицы, и сделать проверку.

Решение:

а) Решим эту систему по формулам Крамера

Найдем главный определитель системы

5 2 -2

=...

3 4 -3

Т.к. определитель системы не равен 0, то система имеет единственное решение.

-19 2 -2 -123, ==>...

=...

-13 4 -3

5 -19 -2 82, ==>...

=...

3 -13 -3

5 2 -19 164, ==>...

=...

3 4 -13

б) Решим эту систему с помощью обратной матрицы. В этом случае решение находится по формуле:

X=A-1?B

Найдем матрицу, обратную матрице A. Находим алгебраические дополнения Aij:

=...

4 -3 4 -3 -1 -3

=...

3 -3 3 -3 5 -3

=...

3 4 3 4 5 -1

Тогда:

Проверка:

=...

=...

=...

№4. Найти ранг матрицы:

1 -1 1 -1

1 5 -4 -1

2 -1 2 2

3 4 -2 1

Решение:

Преобразуем матрицу:

1 -1 1 -1 ~ 1 -1 1 -1 ~ 1 -1 1 -1 ~ 1 -1 1 -1

1 5 -4 -1 0 6 -5 0 0 6 -5 0 0 6 -5 0

2 -1 2 2 0 1 0 4 0 0 5 24 0 0 5 24

3 4 -2 1 0 7 -5 4 0 0 5 24 0 0 0 0

Количество ненулевых строк в матрице равно 3, поэтому ранг матрицы равен 3.

№5. Исследовать на совместность и решить системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса (a,b,c).

a)...; b)...; c)...

Решение:

a) Проверим совместность системы по теореме Кронекера-Капелли. Для этого преобразуем расширенную матрицу системы с помощью метода Гаусса:

3 -2 1 0 ~ 3 -2 1 0 ~ 3 -2 1 0 ~ 3 -2 1 0

12 -4 1 0 0 4 -3 0 0 4 -3 0 0 4 -3 0

0 20 2 1 0 20 2 1 0 0 17 1 0 0 17 1

0 0 15 -3 0 0 15 -3 0 0 15 -3 0 0 0 66

Видим, что ранг основной матрицы равен трем, а ранг расширенной - четырем. Т.к. ранги не равны, то по теореме Кронекера-Капелли система несовместна и поэтому не имеет решений.

b) преобразуем расширенную матрицу системы:

2 -2 4 4 ~ 2 -2 4 4 ~ 2 -2 4 4

6 -1 13 18 0 5 1 6 0 5 1 6

4 -19 5 -10 0 -15 -3 -18 0 0 0 0

4 -14 6 -4 0 -10 -2 -12 0 0 0 0

Видим, что ранг главной матрицы равен двум, ранг расширенной - также двум. Т.к. ранги равны, то по теореме Кронекера-Капелли система совместна. Система, соответствующая полученной матрице, имеет вид:

Выберем в качестве свободной переменную z и перенесем слагаемые с z в правую часть.

Решая эту систему, находим:

Найдем фундаментальную систему решений однородной системы уравнений:

=...

Фундаментальная система решений однородной системы:

=...

Тогда общее решение однородной системы будет иметь вид:

=...

Найдем общее решение неоднородной системы. Полагая z=0, получим: x=..., y=.... Таким образом, в качестве частного решения неоднородной системы можно взять решение

e0=(3;...;0)

Тогда общее решение можно представить в виде:

=...

c) преобразуем расширенную матрицу системы:

3 -2 0 0 13 ~ 3 -2 0 0 13 ~ 3 -2 0 0 13 ~ 3 -2 0 0 13

12 -4 1 0 46 0 4 1 0 -6 0 4 1 0 -6 0 4 1 0 -6

0 20 2 1 -35 0 20 2 1 -35 0 0 -3 1 -5 0 0 -3 1 -5

0 0 15 -3 27 0 0 15 -3 27 0 0 15 -3 27 0 0 0 34 34

Видим, что ранг главной матрицы равен четырем, ранг расширенной - также четырем. Т.к. ранги равны, то по теореме Кронекера-Капелли система совместна. Поскольку ранг системы равен количеству неизвестных, то система имеет единственное решение.

Обратный ход: