Контрольная работа 2, вариант 2

  • ID: 42489 
  • 4 страницы

Фрагмент работы:

Контрольная работа 2

Задание 1. Найти общее решение дифференциального уравнения.

Решение:

Задано уравнение:...

Данное уравнение является однородным. Замена... или....

Подставим в исходное уравнение и получим уравнение вида:

или.......

Интегрируя обе части равенства, получим:....

Тогда:.......

Но.... Подставляя, получим:....

Общее решение примет вид:....

Задание 2. Найти частное решение дифференциального уравнения.

Решение:

Задано уравнение:....

Данное уравнение является линейным относительно переменной y. Тогда решение уравнения будет искать в виде....

Получим после подстановки:.... (1)

Пусть..., тогда....

Интегрируя обе части равенства, получим:

или.......

Подставляя в (1), получим:

или..., интегрируя обе части равенства, получим:....

Тогда...

Общее решение примет вид:....

Используя начальные данные, получим:....

Частное решение примет вид:....

Задание 3. Найти частное решение дифференциального уравнения и вычислить значение функции при x = x0 c точностью до сотых.

Решение:

Задано уравнение:....

Перепишем уравнение в виде:

Начальные данные:

Поставляя, получим:

Частное решение:....

Задача 4. Найти общее решение дифференциального уравнения.

Решение:

Задано уравнение:....

Уравнение не содержит явно..., поэтому сделаем замену......, тогда

уравнение примет вид:... - уравнение с разделяющимися переменными.

Интегрируя обе части равенства, получим:

Так как..., получим, что...

Общее решение примет вид:....

Задание 5. Решить задачу коши заданного дифференциального уравнения.

Решение:

Задано уравнение:....

Уравнение не содержит явно..., поэтому сделаем замену......, тогда после замены, уравнение примет вид:

Интегрируя, получим:...

Окончательно получим....

Тогда...

В итоге...

Используя начальные данные, получим:....

Решение задачи Коши примет вид:....

Задача 6. Найти общее решение дифференциального уравнения.

Решение:

Задано уравнение:....

Решаем однородное уравнение:.... Составим характеристическое уравнение

- корень кратности 2. Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:....

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:.........

Подставляем и получим:..., откуда....

Тогда....

Общее решение:... и....

Задание 7. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений.

Решение:

Задано уравнение:....

Дифференцируем первое уравнение и подставляем в первое:....

Получим.... Составим характеристическое уравнение

Тогда....

Вычислим...

Соответственно...

Общее решение примет вид:....