Вариант 8. Доказать, что векторы образуют базис четырехмерного пространства

  • ID: 42288 
  • 5 страниц

Фрагмент работы:

Вариант 8. Доказать, что векторы образуют базис четырехмерного про…

ВАРИАНТ №8

Задание 2

Даны векторы.... Доказать, что векторы... образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора... в этом базисе.

Решение:

Чтобы векторы образовывали базис, они должны быть линейно независимы. Составим определитель из координат векторов............ и вычислим его. Если он не равен нулю, то векторы линейно независимы и, следовательно, образуют базис.

Т.к...., то векторы............линейно независимы и, следовательно, образуют базис четырёхмерного пространства.

Найдем координаты вектора... в этом базисе. Для этого решим систему уравнений, в матричном виде которая запишется

Решим СЛАУ методом Гаусса, для этого приведём систему к "почти треугольному" виду:

-1 0 1 0 -1

2 -1 -3 -1 0

0 -2 -2 3 1

-1 3 2 1 5

+1*2

-1

-1 0 1 0 -1

0 -1 -1 -1 -2

0 -2 -2 3 1

0 3 1 1 6

*(-1)

-2*2

+2*3

-1 0 1 0 -1

0 -1 -1 -1 -2

0 0 0 5 5

0 0 -2 -2 0

Т.к.... то по теореме Кронекера - Капелли система совместна и имеет единственное решение.

Восстановим систему и решим её снизу - вверх:

Проверка:... - верно!

Таким образом, вектор... в новом базисе будет выглядеть так:...

Задание 3

Найти производные функций:

а)... б)...

в)... г)...

Решение:

а)...

=...

б)...

Прежде чем искать производную данной функции, преобразуем ее, воспользовавшись правилами логарифмирования степени:

=...

Тогда

=...

=...

=...

в)...

=...

г)...

=...

=...

Задание 5

Найти неопределенные интегралы.

Результаты проверить дифференцированием:

а)...; б)...; в)...; г)...

Решение:

а)...

Проверка:

б)......=...

Проверка:

в)...=......=

=...

Проверка:

г)...

Выделим целую часть:

_ x3+1 | x2+2х-15

x3+2х2-15х |x-2

_ -2x2+15х+1

-2x2-4х+30

19x-29

Тогда, интеграл примет вид:

Где...

Разложим дробь на простые слагаемые. Для этого сначала разложим знаменатель на множители

=0,D=64, тогда х1=-5, х2=3>... =(х+5)(х-3)

Здесь А и В - числа, которые нужно найти. Сделаем приведение к общему знаменателю в правой части:

Так как дроби тождественно равны и равны их знаменатели, то должны быть равны и их числители:

Подставим найденные числа в равенство:...-...

Тогда окончательно:

Проверка: