Вариант 8. Доказать, что векторы образуют базис четырехмерного пространства

  • ID: 42288 
  • 5 страниц

Фрагмент работы:

ВАРИАНТ №8

Задание 2

Даны векторы [image]. Доказать, что векторы [image] образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора [image] в этом базисе.

[image], [image], [image], [image], [image]

Решение:

Чтобы векторы образовывали базис, они должны быть линейно независимы. Составим определитель из координат векторов [image], [image], [image], [image] и вычислим его. Если он не равен нулю, то векторы линейно независимы и, следовательно, образуют базис.

[image]

Т.к. [image], то векторы [image], [image], [image], [image]линейно независимы и, следовательно, образуют базис четырёхмерного пространства.

Найдем координаты вектора [image] в этом базисе. Для этого решим систему уравнений, в матричном виде которая запишется

[image]

[image][image]Решим СЛАУ методом Гаусса, для этого приведём систему к «почти треугольному» виду:

+1*2

[image][image]

-1

*(-1)

-2*2

[image][image]+2*3

Т.к. [image] то по теореме Кронекера – Капелли система совместна и имеет единственное решение.

Восстановим систему и решим её снизу – вверх:

[image]

Проверка: [image] - верно!

Таким образом, вектор [image] в новом базисе будет выглядеть так: [image]

Задание 3

Найти производные функций:

а) [image] б) [image]

в) [image] г) [image]

Решение:

а) [image]

[image]