Задачи 10, 20, 29, 38, 45, 54

  • ID: 42205 
  • 7 страниц

Фрагмент работы:

Задача 10. Даны вершины треугольника:

А (9;3) В (1;9) С (2;4)

Сделать чертеж и найти:

длину стороны АВ;

внутренний угол при вершине А;

уравнение высоты, проведенной через вершину С;

уравнение медианы, проведенной через вершину В;

точку пересечения медианы ВЕ и высоты СD;

длину высоты, опущенной из вершины С.

Решение. Начнем решение задачи с выполнения чертежа. Построим точки

А (9;3), В (1;9), С (2;4) в прямоугольной системе координат Oxy и, соединив их, получим треугольник АВС. Проведем высоту СD и медиану ВЕ, уравнения которых необходимо найти. Причём..., а точка Е - середина отрезка АС.

1. Длину стороны АВ находим как расстояние между двумя точками А(9;3) и В(1;9):

2. Отметим, что угол А в треугольнике является острым. Тангенс этого угла можно найти по формуле:

Найдем угловые коэффициенты прямых:

Тогда....

С помощью калькулятора или по таблице Бредиса определяем, что такое значение тангенса соответствует углу...А...28,70.

3. Уравнение высоты СD запишем в виде уравнения пучка прямых, проходящих через точку С:....

По условию перпендикулярности СD и АВ:....

Ранее (см. п. 2) было найдено:..., тогда....

Подставим в уравнение..., получим.......

В итоге получим:... - уравнение высоты СD.

4. Медиана ВЕ соединяет вершину В с точкой Е, которая является серединой отрезка АС. Координаты точки Е:

Составим уравнение медианы ВЕ по двум точкам B(1;9) и E(5,5;3,5), воспользовавшись формулой:

- уравнение медианы ВЕ.

5. Координаты точки пересечения высоты CD и медианы ВЕ найдем, решив систему уравнений для прямых СD и ВЕ:

В результате получим точку пересечения..., координаты которой соответствуют точке на чертеже.

6. Длину высоты найдем как расстояние от точки С до прямой АВ по формуле:

Уравнение прямой АВ составим, используя уравнение пучка прямых:

- уравнение прямой АВ.

Тогда

Задача 20. Вычислить пределы функции y=f(x), при указанном поведении аргумента x.

;

а)..., б)...; в)...; г)...; д)....

Решение: В задаче следует найти предел частного. С этой целью необходимо вычислить пределы числителя и знаменателя дроби, подставив в них предельное значение аргумента.

а)....

б)....

в)....

г)....

д)....

Задание 29. Найти производные данных функций и их дифференциалы.

а)...; б)...; в)...; г)...

Решение:

а)...

б)...

в)...

г)...

Задание 38. Исследовать функцию y = f (x) средствами дифференциального исчисления и построить ее график

1. Область определения функции.

x?(-?;+?)

2. Четность и нечетность функции.

f(-x)=(-x)3+3(-x)2=-x3+3x2??f(x), поэтому функция свойствами четности или нечетности не обладает

3. Периодичность функции.

Данная функция не является периодической как многочлен.

4. Непрерывность функции.

Данная функция является непрерывной на всей области определения как многочлен.

5. Поведение функции на концах области определения.

6. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем производную функции.

y'=3x2+6x

=...

3x(x+2)=0

x1=0 x2=-2

Составим таблицу для определения знака производной

x (-?;-2) -2 (-2;0) 0 (0;+ ?)

y' + 0 - 0 +

y возрастает максимум

ymax=4 убывает минимум

ymin=0 возрастает

7. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную

y"=6x+6

=...

x=-1

Составим таблицу для определения знака второй производной

x (-?;-1) -1 (-1;+ ?)

y" - 0 +

y выпукла перегиб

yпер=2 вогнута

8. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: полагаем x=0, тогда y=0.

С осью OX: полагаем y=0, тогда.

x3+3x2=0

x2 (x+3)=0

=...

9. Дополнительные точки.

=...

Построим график функции

Задание 45. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

Решение: Вычислим интеграл методом непосредственного интегрирования. При этом используются табличные интегралы от степенных функций:

а)...

Проверка:

б)...

Проверка:

в)...

Проверка:

г)...

Проверка:

Задача 54. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями... и.... Сделать чертеж.

Решение: Выполним чертеж

Первое уравнение определяет параболу, а второе - прямую линию.

Найдем точки пересечения параболы и прямой, решив систему уравнений:

Заштрихуем плоскую фигуру, ограниченную параболой и прямой. Здесь функции... и... ограничивают фигуру соответственно снизу и сверху, то есть... при....

Для нахождения искомой площади воспользуемся формулой: