Билет 18. Декартов базис. Радиус-вектор точки. Длина вектора

  • ID: 42204 
  • 4 страницы

Фрагмент работы:

Билет 18. Декартов базис. Радиус-вектор точки. Длина вектора

Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Дистанционное обучение

1 курс "Алгебра и геометрия". Экзамен

БИЛЕТ № 18

1. Декартов базис. Радиус-вектор точки. Длина вектора.

Ответ:

Прямоугольная декартовая система координат (ПДСК) состоит из фиксированной точки... (центра системы координат) и трех пересекающихся в ней, взаимно перпендикулярных направленных прямых... (осей системы координат).

Определение:

- Прямая, на которой определено направление, называется осью.

- Отрезок на оси, ограниченный точками А и В, называется направленным, если определено, какая из этих точек считается его началом, какая концом.

- Направление отрезка - направление от его начала к его концу. Обозначается направленный отрезок....

- Величиной АВ направленного отрезка... называется его длина, взятая со знаком " + ", если отрезок и ось одинаково направлены, и со знаком " ? " в противном случае. Таким образом, АВ = ? ВА.

Обычно, направления выбираются так, чтобы прямые образовывали правую тройку векторов. Единичные векторы, задающие направления осям..., обозначаются буквами... и образуют ортонормированный базис.

Вектор... называется радиус-вектором точки.... Координаты вектора... относительно базиса... являются координатами точки..., т.е. если... (...), то... - точка с координатами.... Так как..., то....

Если векторы рассматриваются на плоскости, то ПДСК состоит из двух перпендикулярных осей... с направляющими ортами... (......).

Каждая точка прямой в данной системе координат, определяется одной координатой.... Каждая точка плоскости в данной системе координат определяется двумя координатами.... Каждая точка пространства в данной системе координат определяется тремя координатами....

Геометрический вектор - это направленный отрезок. Векторы обозначаются следующим образом:...;... - начальная точка вектора... - конечная точка вектора.

Понятие вектор имеет более широкий смысл. Вектором называют элемент линейного пространства, как правило конечномерного. Все множество геометрических векторов составляет линейное пространство. Линейное пространство образуют многие математические объекты, например, матрицы одного размера, или многочлены.

Расстояние между началом и концом вектора называется его длинной или модулем, и обозначается....

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором. Ортом вектора... называется единичный вектор... со направленный с..., т.е.....

Нулевой вектор... - это вектор, начало и конец которого совпадают. Модуль нулевого вектора равен нулю, а направление не определено.

2. Парабола и её свойства.

Ответ:

- каноническое уравнение параболы

- фокальный параметр

- фокус

- директриса

- фокальный радиус точки...

- расстояние от точки... до директрисы.

3. Исследовать систему и в случае совместности найти решение

Решение:

Запишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее методом Гаусса:

Число ненулевых строк как основной, так и расширенной матриц, равно 2, поэтому Rg A = Rg A* =2 и по теореме Кронекера-Капелли система совместна. Ранг основной матрицы равен 2, поэтому в системе есть 2 базисных и 5-2=3 свободных переменные. Выберем в качестве свободных переменных.... Найдем общее решение неоднородной системы, причем...- базисные неизвестные:

Общее решение

Из общего решения системы найдем какое-нибудь частное решение.

Запишем частное уравнение:

4. Провести плоскость через прямую... и точку A(2;0; -1).

Решение:

Перепишем уравнение прямой в параметрическом виде:

Точка... принадлежит прямой.... Определим еще одну точку, принадлежащую данной прямой:....

Определим уравнение плоскости, проходящее через 3 точки:

Преобразуя, получим:... - уравнение искомой плоскости.

5. Найти..., где А(2;-1;2), В(1;2;-1) и С(3;2;-1).

Решение:

Определим координаты векторов:

Соответственно....

Тогда