Контрольная работа 1: задачи 12, 22, 32, 52, Контрольная работа 2: задачи 112, 122, 142, 152, 172, 192

  • ID: 42160 
  • 11 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа 1: задачи 12, 22, 32, 52, Контрольная работа 2:…

Контрольная работа 1

Задача 12. Даны координаты вершин пирамиды.... Найти:

1) модули векторов...;

2) угол между векторами... и...;

3) угол между ребром... и гранью...;

4) площадь грани...;

5) объем пирамиды...;

6) уравнение прямой...;

7) уравнение плоскости...;

8) уравнение высоты, опущенной из вершины... на грань....

Решение:

1. Расстояние между двумя точками определяется формулой:....

Получим:...

2.......

Тогда:...

3. Для определения угла между ребром... и гранью..., определим уравнение грани...:.... Преобразуя, получим....

или уравнение грани... примет вид:....

Угол определим по формуле:..., подставляя значения, получим:.......

4. Для вычисления площади грани... потребуются вектора... и....

Вычислим векторное произведение этих векторов:....

Тогда площади грани... равна:....

5. объем пирамиды... вычислим по формуле:.... В итоге получим:....

6. Используя формулу, определим уравнение прямой...:....

Подставляя данные, получим:....

7. Уравнение плоскости... уже было найдено в пункте 3 и имеет вид:

8. Уравнение высоты, опущенной из вершины... на грань...:

А4

h А2

А1

А3

Рис. 1.

Задание 22. Даны уравнения одной из сторон ромба... и одной из его диагоналей...; диагонали ромба пересекаются в точке.... Найти уравнения остальных сторон ромба. Сделать чертеж.

Решение:

Пусть сторона ромба AB определяется уравнением:....

Диагональ AC:....

Координаты точки A определим из решения системы:

Из свойств ромба, точка... является серединой отрезка прямой AC.

Тогда:

Значит, точка C имеет координаты:....

Тогда уравнение прямой DC прямой DC примет вид:....

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом, значит прямая BD перпендикулярна прямой AC.

Уравнение прямой BD примет вид:....

Координаты точки B определим из решения системы:

Уравнение прямой BC определим по формуле:....

Тогда уравнение прямой AD будет иметь вид:....

Таким образом

Выполним чертеж:

Задача 32. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки... вдвое меньше расстояния ее от прямой....

Решение:

Обозначим через... произвольную точку, удовлетворяющую заданным условиям. Тогда расстояние от точки... до точки... равно:.... Расстояние от точки... до прямой...:....

По условию задачи....

Получим:....

Преобразуем:... - это уравнение эллипса с центром в точке... и полуосями....

Чертёж:

Задача 52. Доказать совместность системы линейных уравнений и решить двумя способами: методом Гаусса и средствами матричного исчисления

Дано:...

Запишем систему алгебраических уравнений в матричной форме... и решим ее методом Гаусса и с помощью обратной матрицы....

где..........

1). Для того чтобы решись систему методом Гаусса, последовательно выполним преобразования, приводящие матрицу к треугольному виду:

1 -2 3 6 1 -2 3 6

2 3 -4 20 ? 0 -7 10 -8 ?

3 -2 -5 6 0 -4 14 12

1 -2 3 6 1 -2 3 6

? 0 -7 10 -8 ? 0 -7 10 -8

0 -4 14 12 0 0 58 116

Видно, что ранг матрицы A равен рангу расширенной матрицы, а значит, система линейных алгебраических уравнений совместна.

Получим систему уравнений вида:

2) решим эту систему матричным методом. В этом случае решение находится по формуле:

X=A-1?B

Найдем главный определитель системы

1 -2 3

=...

3 -2 -5

Т.к. определитель системы не равен 0, то система имеет единственное решение. Найдем его с помощью обратной матрицы. Найдем алгебраические дополнения:

=...

-2 -5 -2 -5 3 -4

=...

3 -5 3 -5 2 -4

=...

3 -2 3 -2 2 3

Проверка:

Ответ:....

Контрольная работа 2

Задача 112. Вычислить пределы функций.

Решение:

a)...

б)....

в)....

г)...

Задача 122. Задана функция и два значение аргумента.

1. Установить непрерывность или разрыв в данных точках.

2. В случае разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и справа.

3. Выполнить схематический чертеж.

Решение:

1)... непрерывна в... и имеет разрыв в....

2)... - предел слева

- предел справа

В точке...... имеет разрыв 2-го рода, т.к. один из пределов равен бесконечности.

3)... - горизонтальная асимптота.

4) Строим график:

Задача 142. Для функции..., вычислить производную....

Решение:

а)....

б)...

в)...

г)...

д)...

Продифференцируем обе части равенства:...

Получим выражение для производной...:....

152. Найти... и...

1)...

2)...

Вычислим предварительно:

Тогда:

Задача 172. Найти наибольшее и наименьшее значение функции.......

Решение:

Вычислим и сравним:

x (0;1) 1 (1;2)

- 0 +

y убывает... возрастает

В точке... минимум. Значение в точке... равно:...

Значение функции на концах:......

Наибольшее значение функции:....

Наименьшее значение функции:....

Задача 192. Исследовать с помощью дифференциального исчисления функцию и построить ее график.

Решение:

1. Область определения функции:....

2. Четность и нечетность функции.

==> функция обладает свойствами четной функции, то есть график функции симметричен относительно оси Oy.

3. Асимптоты.

а) вертикальных асимптот нет так как функция является непрерывной.

б) горизонтальные

Горизонтальная асимптота....

в) наклонные

y=k?x+b

Наклонных асимптот нет.

4. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: x=0, y=1

С осью OX: полагаем y=0, тогда...

5. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем производную функции.

Составим таблицу для определения знака первой производной

x (-?;0) 0 (0; +?)

- 0 +

y убывает min

возрастает

6. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную

Составим таблицу для определения знака второй производной

x (-?;-1) -1 (-1;0) 0 (0;1) 1 (1;+...)

+ 0 - 0 - 0 +

y вогнута 0 выпукла -1 выпукла 0 вогнута

Строим график: