Вариант 2. привести уравнения линий 2-го порядка к каноническому виду

  • ID: 42070 
  • 9 страниц

Фрагмент работы:

Задача 2. Даны координаты треугольника ABC. [image].

Найти:

длину стороны AB;

уравнение стороны AB и BC и их угловые коэффициенты;

угол B треугольника (с точностью до одной минуты);

уравнение высоты CD и ее длину;

уравнение биссектрисы BN;

уравнение медианы AE и координаты точки K пересечения этой медианы с высотой CD;

уравнение прямой KL, проходящей через точку K параллельно прямой AB;

координаты точки M, расположенной симметрично точки A относительно прямой CD.

построить треугольник ABC, высоту CD, медиану AE, биссектрису BN и точку

Решение:

1. [image].

2. Найдем уравнение стороны AB и BC соответственно:

[image] (уравнение стороны AB).

[image] (уравнение стороны BC).

Угловые коэффициенты равны: [image].

3. Угол B определим по формуле:[image].

4. Уравнение высоты примет вид:

[image].

Определим координаты точки D – точки пересечения AB и CD. Решаем систему уравнений:

[image].

[image]

5. Для определения уравнения биссектрисы внутреннего угла [image] вычислим вектора:

[image]; [image].

Направленный вектор BS: [image];

Уравнение биссектрисы проведенной через точку B, примет вид:

BS: [image](уравнение биссектрисы BS).

6. Точка E является серединой отрезка BC (из свойств медианы).

Получим [image], [image].

Тогда уравнение прямой AE примет вид: [image] - (уравнение медианы AE).

Координаты точки K пересечения медианы AE и высоты CD определим из системы:

[image].

7. Уравнение прямой KL будет иметь вид: [image].

8. Точка D является серединой отрезка прямой AM.

Тогда

[image],

[image].

9. Выполним чертеж:

[image]

Задача 32. привести уравнения линий 2-го порядка к каноническому виду; построить данные линии (на чертеже указать “старую” и “новую” системы координат).

[image]

Решение:

1. Перепишем уравнение [image] в виде:

[image]

Проведем в скобках “дополнение до полного квадрата” и выполним очевидное преобразование:

[image]

[image]