Вариант 2. привести уравнения линий 2-го порядка к каноническому виду

  • ID: 42070 
  • 9 страниц

Фрагмент работы:

Задача 2. Даны координаты треугольника ABC.....

Найти:

1. длину стороны AB;

2. уравнение стороны AB и BC и их угловые коэффициенты;

3. угол B треугольника (с точностью до одной минуты);

4. уравнение высоты CD и ее длину;

5. уравнение биссектрисы BN;

6. уравнение медианы AE и координаты точки K пересечения этой медианы с высотой CD;

7. уравнение прямой KL, проходящей через точку K параллельно прямой AB;

8. координаты точки M, расположенной симметрично точки A относительно прямой CD.

9. построить треугольник ABC, высоту CD, медиану AE, биссектрису BN и точку

Решение:

1.....

2. Найдем уравнение стороны AB и BC соответственно:

(уравнение стороны AB).

(уравнение стороны BC).

Угловые коэффициенты равны:....

3. Угол B определим по формуле:....

4. Уравнение высоты примет вид:

Определим координаты точки D - точки пересечения AB и CD. Решаем систему уравнений:

5. Для определения уравнения биссектрисы внутреннего угла... вычислим вектора:

;....

Направленный вектор BS:...;

Уравнение биссектрисы проведенной через точку B, примет вид:

BS:...(уравнение биссектрисы BS).

6. Точка E является серединой отрезка BC (из свойств медианы).

Получим.......

Тогда уравнение прямой AE примет вид:... - (уравнение медианы AE).

Координаты точки K пересечения медианы AE и высоты CD определим из системы:

7. Уравнение прямой KL будет иметь вид:....

8. Точка D является серединой отрезка прямой AM.

Тогда

9. Выполним чертеж:

Задача 32. привести уравнения линий 2-го порядка к каноническому виду; построить данные линии (на чертеже указать "старую" и "новую" системы координат).

Решение:

1. Перепишем уравнение... в виде:

Проведем в скобках "дополнение до полного квадрата" и выполним очевидное преобразование:

Введем "новые" координаты.... Последнее уравнение в "новых " координатах примет вид:

- уравнение параболы. Система координат сдвинута на вектор....

Общий вид кривой:..., где p - фокальное расстояние. В нашем случае....

2. Перепишем уравнение... в виде:

Проведем в скобках "дополнение до полного квадрата" и выполним очевидное преобразование:

Введем "новые" координаты.... Последнее уравнение в "новых " координатах примет вид:... - уравнение окружности с центром в точке... и радиусом....

3. Перепишем уравнение... в виде:

или...

Проведем в скобках "дополнение до полного квадрата" и выполним очевидное преобразование:

Введем "новые" координаты.... Последнее уравнение в "новых " координатах примет вид:... - уравнение гиперболы с центром в точке... и полуосями....

4. Перепишем уравнение... в виде:

Проведем в скобках "дополнение до полного квадрата" и выполним очевидное преобразование:

Введем "новые" координаты.... Последнее уравнение в "новых " координатах примет вид:... - уравнение эллипса с центром в точке... и полуосями....

Задача 62. Даны координаты вершин пирамиды....

Найти:

1. составить общее уравнение плоскости Q, проходящее через точки A, B, C;

2. составить каноническое уравнение прямой линии, проходящей через точку M перпендикулярно плоскости Q и найти координаты точки N пересечения этой прямой с плоскостью Q;

3. найти расстояние от точки M до плоскости Q;

4. составить каноническое уравнение прямых AB и AM и найти угол между этими прямыми;

5. найти угол между прямой AM и плоскостью Q;

6. найти площадь треугольника ABC;

7. найти объем пирамиды ABCM;

Решение:

1. Уравнение плоскости Q, проходящей через точки... определим по формуле:

Преобразуя, получим:... или уравнение плоскости Q примет вид:....

2. Каноническое уравнение прямой MN запишется в виде:....

Точку пересечения этой высоты с основанием определим из решения системы уравнений:

Тогда координаты точки пересечения N, высоты с плоскостью равны:

3. Расстояние от точки M до плоскости Q определим по формуле:

4. Канонические уравнения прямых имеют вид:

(уравнение AB).

(уравнение AM).

Определим координаты векторов AB, AM и их длины:

Тогда:.......

5. Координаты вектора AM равны.... Вектор нормали к плоскости Q имеет вид:.... Угол определим по формуле:..., подставляя значения, получим:.......

6. Для вычисления площади грани... потребуются вектора... и....

Вычислим векторное произведение этих векторов:....

Тогда площади грани... равна:....

7. объем пирамиды... вычислим по формуле:...

В итоге получим:....