Контрольная работа 1, 2, 3: вариант 9

  • ID: 41874 
  • 21 страница

Фрагмент работы:

Контрольная работа 1, 2, 3: вариант 9

Контрольная работа №1

Задание 1.1.9.

-5 1 1 5 2 4 -3 -4 4 -3 -4 2 4 -4 2 4

=...

4 2 -4 4 -5 -4 1 3 -4 1 3 -5 -4 3 -5 -4

3 -5 -4 1

=...

=...

Задание 1.2.9.

а)

-4 -1 4 5 -4 5 -4*5-1*5+4*(-1) -4*(-4)-1*(-1)+4*(-4) -4*5-1*2+4*(-4) -29 1 -38

=...

2 -4 4 -1 -4 -4 2*5-4*5+4*(-1) 2*(-4)-4*(-1)+4*(-4) 2*5-4*2+4*(-4) -14 -20 -14

б)

-3 -2 -2

=...

-5 -5 -5 4 2 -2 -1 -26 25 -17

-4 -5 -3

Задание 1.3.9.

Решим эту систему по формулам Крамера

Найдем главный определитель системы

4 -4 5

=...

4 3 -4

Т.к. определитель системы не равен 0, то система имеет единственное решение.

37 -4 5 88, ==>...

=...

-43 3 -4

4 37 5 220, ==>...

=...

4 -43 -4

4 -4 37 -220, ==>...

=...

4 3 -43

Задание 1.4.9.

Решим эту систему с помощью обратной матрицы. В этом случае решение находится по формуле:

X=A-1?B

Найдем матрицу, обратную матрице A. Для этого найдем определитель матрицы A и алгебраические дополнения Aij:

4 4 -3

=...

3 5 -2

=...

5 -2 5 -2 -1 4

=...

3 -2 3 -2 3 4

=...

3 5 3 5 3 -1

Тогда:

Задание 1.5.9.

Решим эту систему методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду (прямой ход):

4 -2 3 -26 4 -2 3 -26 ~ 4 -2 3 -26

16 -9 16 -114 ~ 0 4 -16 40 0 4 -16 40

-12 1 9 32 0 20 -72 184 0 0 -32 64

Обратный ход:

Задание 1.6.9.

Найдем определитель матрицы A:

5 4 1

=...

1 8 2

Т.к. определитель равен 0, то система имеет бесчисленное множество решений. Проверим совместность каждой системы по теореме Кронекера-Капелли. Для этого преобразуем расширенную матрицу первой системы с помощью метода Гаусса:

5 4 1 -25 5 4 1 -25 ~ 5 4 1 -25

4 -4 -1 7 ~ 0 36 9 -135 0 36 9 -135

1 8 2 -31 0 -36 -9 130 0 0 0 180

Видим, что ранг главной матрицы равен двум, а ранг расширенной - трем. Т.к. ранги не равны, то по теореме Кронекера-Капелли система несовместна и поэтому не имеет решений.

Преобразуем расширенную матрицу второй системы:

5 4 1 18 5 4 1 18 ~ 5 4 1 18

4 -4 -1 9 ~ 0 36 9 27 0 36 9 27

1 8 2 9 0 -36 -9 -27 0 0 0 0

Видим, что ранг главной матрицы равен двум, ранг расширенной - также двум. Т.к. ранги равны, то по теореме Кронекера-Капелли система совместна. Система, соответствующая полученной матрице, имеет вид:

Выберем в качестве свободной переменную z и перенесем слагаемые с z в правую часть.

Решая эту систему, находим:

Найдем фундаментальную систему решений однородной системы уравнений:

=...

Фундаментальная система решений однородной системы:

e1=(3;2;1)

Тогда общее решение однородной системы будет иметь вид:

=...

Найдем общее решение неоднородной системы. Полагая z=0, получим: x=3, y=3. Таким образом, в качестве частного решения неоднородной системы можно взять решение

e0=(3;3;0)

Тогда общее решение можно представить в виде:

=...

Контрольная работа №2

Задание 2.1.9. Даны координаты трех точек...

Выполнить следующие действия:

Решение:

а) написать уравнение прямой AB;

уравнение прямой AB запишется в виде:....

Подставляя данные, получим:....

б) найти угловой коэффициент прямой AB;

исходя из преобразованного уравнения..., получим, что....

в) найти отрезки, которые эта прямая отсекает от осей координат, записать уравнение прямой AB в отрезках;

при....

при....

Уравнение в отрезках запишется в виде:....

г) вычислить угол между прямой AB и прямой...;

угловой коэффициент прямой AB..., а угловой коэффициент прямой......, тогда....

д) через точку C провести прямую, параллельную прямой AB;

прямые параллельны друг другу, если их угловые коэффициенты равны, поэтому:... - искомое уравнение прямой.

е) через точку C провести прямую, перпендикулярно прямой AB;

для того, чтобы прямые были перпендикулярны друг другу, необходимо выполнение условия для их угловых коэффициентов:..., тогда уравнение примет вид:....

ж) найти проекцию точки C на прямую AB;

координаты проекции точки C на прямую AB, определяются из решения системы 2-х уравнений:

- координаты проекции точки C.

з) найти расстояние от точки C до прямой AB;

Расстояние между двумя точками С и Е определяется формулой:....

и) найти координату точки D, симметричную точке C относительно прямой AB;

точка E - середина отрезка CD, поэтому:....

к) написать уравнение окружности с центром в точке С, и касающейся прямой AB;

общее уравнение окружности имеет вид:..., где...- центр искомой окружности, а...- радиус окружности.

Окончательно, получим:....

л) вычислить площадь треугольника ABC;

для вычисления площади, потребуются вектора:

Вычислим векторное произведение этих векторов:....

Тогда площади грани... равна:....

м) найти центр тяжести треугольника ABC;

центр тяжести треугольника лежит на пересечении медиан. Найдем уравнение 2-х медиан. Их пересечением будет являться центр тяжести.

Вычислим координаты точки...:

Уравнение прямой...:...

Вычислим координаты точки...:

Уравнение прямой...:...

Решаем систему уравнений:

- координаты точки пересечения медиан.

н) найти точку пересечения высот треугольника ABC;

уравнение высоты CD уже найдено.... Найдем уравнение другой высоты BK.

Определим уравнение стороны AC:

Тогда уравнение высоты BK примет вид:....

Решаем систему уравнений:

- координаты точки пересечения высот.

о) через точку C провести прямую, отсекающую равные по величине и знаку отрезки на осях координат;

общее уравнение этой прямой имеет вид:... и так как..., то получим:....

Задание 2.2.9 Даны координаты вершин пирамиды ABCD:

1) длину ребра...;

2) угол между ребрами... и...;

3) синус угла между ребром... и гранью...

4) площадь грани...;

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой...;

7) уравнение плоскости...;

8) координаты вектора, совпадающего с высотой;

9) длину высоты.

Решение:

1. Расстояние между двумя точками определяется формулой:....

Получим:...

2. Для вычисления угла, потребуются вектора:

Тогда:...

3. Для вычисления синуса угла между ребром... и гранью... найдем уравнение плоскости...:

Преобразуя, получим....

В итоге... или уравнение грани... примет вид:....

Координаты вектора... найдены..., вектор нормали к плоскости...имеет вид:....

Угол определим по формуле:..., подставляя значения, получим:.......

4. Для вычисления площади грани... потребуются вектора... и....

Вычислим векторное произведение этих векторов:....

Тогда площади грани... равна:....

5. объем пирамиды... вычислим по формуле:....

В итоге получим:....

6. Каноническое уравнение прямой AB запишется в виде:.... Подставляя данные, получим:....

7. Уравнение плоскости уже найдено:....

8. Координаты вектора, совпадающего с высотой DE:...

9. Длину высоты определим по формуле:

Задание 2.3.9 привести уравнения линий 2-го порядка к каноническому виду; построить данные линии (на чертеже указать "старую" и "новую" системы координат).

Решение:

1. Перепишем уравнение... в виде:

Проведем в скобках "дополнение до полного квадрата" и выполним очевидное преобразование:

Введем "новые" координаты.... Последнее уравнение в "новых " координатах примет вид:... - уравнение окружности с центром в точке... и радиусом....

2. Перепишем уравнение... в виде:

или...

Проведем в скобках "дополнение до полного квадрата" и выполним очевидное преобразование:

Введем "новые" координаты.... Последнее уравнение в "новых " координатах примет вид:... - уравнение эллипса с центром в точке... и полуосями....

3. Перепишем уравнение... в виде:

или...

Проведем в скобках "дополнение до полного квадрата" и выполним очевидное преобразование:

Введем "новые" координаты.... Последнее уравнение в "новых " координатах примет вид:... - уравнение гиперболы с центром в точке... и полуосями....

4. Перепишем уравнение... в виде:

Проведем в скобках "дополнение до полного квадрата" и выполним очевидное преобразование:

Введем "новые" координаты.... Последнее уравнение в "новых " координатах примет вид:

- уравнение параболы. Система координат сдвинута на вектор....

Общий вид кривой:.... В нашем случае....

Задание 2.4.9 Построить график функции в полярных координатах

Решение:

а)...

Проведем дополнительный анализ поведения заданной функции:

Построим график:

б)...

Проведем дополнительный анализ поведения заданной функции:

0...............

4 8 4 0 4 6,82

Построим график:

Контрольная работа №3

Задание 3.1.9 Найти область определения функций

Решение:

а)...

Решение:

Область допустимых решение (ОДЗ) определяется системой неравенств:

Ответ:...

б)...

Область допустимых решение (ОДЗ) определяется системой:

Ответ:..., выколотая точка....

Задание 3.2.9 Построить график функции

Решение:

а)...

График функции получается из графика... в результате ряда преобразований:

1.... - частота уменьшилась в 3 раза.

2.... - амплитуда уменьшилась в 3 раза.

б)...

Область определения:...

Данная функция получается из функции... сдвигом на вектор....

Здание 3.3.9 Найти указанные пределы

Решение:

а)...

б)...

в)....

г).......

д)...

е)...

Задание 3.4.9 Исследовать на непрерывность и построить схематически график функции

Решение:

а)...

Функция... определена при... и непрерывна на интервалах... и..., так как задана на них основными элементарными функциями.

Исследуем функцию... на непрерывность в точке. Найдем в этой точке односторонние пределы функции.

При...:...

Так как один из односторонних пределов равен бесконечности, то в точке... имеется разрыв второго рода.

Строим график:

б)...

Функция... определена при... и непрерывна на интервалах...... и..., так как задана на них основными элементарными функциями.

Исследуем функцию... на непрерывность в точках... и..., где происходит смена аналитических выражений функции. Найдем в этих точках односторонние пределы функции.

При...:...

Так как односторонние пределы существуют и равны, то в точке... функция непрерывна.

При...:...

Так как предел слева и справа неравны, то в точке... разрыв первого рода.

Строим график функции

При... строим график тригонометрической функции..., а при... - график параболической функции...

При... график функции - прямая.

Ответ: Функция... непрерывна во всех точках, кроме точки..., где имеется разрыв первого рода.