Билет 1. Ряд Фурье для функций с периодом

  • ID: 41671 
  • 7 страниц

Фрагмент работы:

Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Дистанционное обучение

Направление «Телекоммуникации». Ускоренная подготовка

Дисциплина «Высшая математика»

Экзамен. Часть 2.

БИЛЕТ № 17

1. Ряд Фурье для функций с периодом 2p. Условия разложимости.

Ответ:

Функция f(x) называется T – периодической, если для любого [image] [image].

Линейные комбинации вида: [image] с постоянными [image], [image], [image], k = 1,2,… называются тригонометрическими полиномами, то есть многочлены n-го порядка. Значение тригонометрических полиномов в том, что можно приближать значения других 2p - периодических функций.

Рассмотрим тригонометрический полином бесконечного порядка, то есть сумму сходящегося ряда: [image] и выразим коэффициенты [image], [image], [image], [image], [image],… этого ряда через сумму [image].

В итоге получим ряд важных результатов.

1. Пусть выполнено равенство [image] и ряд в его правой части сходится на отрезке [-p, p] равномерно.

Тогда

[image]2. Если 2p - периодическую функцию можно разложить в равномерно сходящийся ряд [image], то это можно сделать единственным образом.

3. Ряд Фурье четной 2p - периодической функции [image] имеет вид

[image], где [image].

4. Ряд Фурье нечетной 2p - периодической функции [image] имеет вид

[image], где [image].

2. Найти градиент функции [image]в точке [image][image].

Решение:

Вычислим частные производные функции [image]:

[image],

[image].

Вычислим значение частных производных в точке M(1,1):

[image], [image].

Градиент функции в точке M(1,1) определим по формуле:

[image].

3. Изменить порядок интегрирования. Область интегрирования изобразить на чертеже.

Решение:

Выполним чертеж заданной области:

[image]

Заданную область можно записать виде множества:

[image].

Тогда

[image].

4. Исследовать на сходимость ряд: [image]

Решение:

Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Рассмотрим ряд с общим членом [image]. Т.к.

[image]

и гармонический ряд cn сходится, то также сходится и ряд [image].