Контрольная работа 2: вариант 1: задачи 211, 221, 231, 241, 261, 281а

  • ID: 40989 
  • 10 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа №2

201. Найти пределы последовательностей

a) lim (n^3 + 2n^2 + 3n) / (4n^3 + 5)

b)

c)

Решение:

а)

б)

в)

- сумма п первых членов убывающей геометрической прогрессии. Вычислим эту сумму

Тогда

211. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя

;

;

Решение:

a)

б).

в).

221. а) найти множество точек, в которых непрерывна функция ;

б) найти точки разрыва функции и определить их характер;

в) можно ли доопределить функцию в точках разрыва так, чтобы она стала непрерывной в этих точках?

Решение:

1) функция неопределенна в точке

Следовательно, в точках функция терпит разрыв.

Функция непрерывна на множестве

2) Определим характер точек разрыва:

Т.к., то точка разрыв 1-го рода (устранимый).

Т.к. оба односторонних предела конечны, то в точке функция имеет разрыв I-го рода (устранимый).

3) Функцию можно доопределить только в точках устранимого разрыва, то есть в точках.

231. Для заданных функций, и найти первую и вторую производные. Вычислить значения этих производных в заданных точках. Для функции найти уравнение касательной и нормали в точке.

;

;

Решение:

и

Запишем и

Вычислим дифференциалы в точке

Составим уравнение касательной:

или.

В итоге уравнение касательной примет вид:

Составим уравнение нормали:

или - уравнение нормали.

241. Найти первую и вторую производные функций, заданных параметрически.

Решение:

2.

Продифференцируем обе части равенства по x:.

Преобразуем:. В итоге получим:

251. Используя формулы Тейлора для основных элементарных функций, найти первые пять отличных от нуля членов разложения функции по степеням.

Решение:

Воспользуемся разложением:

Тогда:

Таким образом:.

№ 261.

а).

Вычислим предел выражения:

Значит.

б)

261. Найти наибольшее и наименьшее значения функций на заданных отрезках.

Решение:

Значит функция принимает наибольшее и наименьшее значение на концах отрезка.

Ответ:

271. Из круглого бревна радиуса вытесывается балка с прямоугольным сечением. Считая, что прочность балки пропорциональна, где - основание, - высота прямоугольника, найти отношение, при котором балка будет иметь наибольшую прочность.

Решение:

281. Построить график функций, провести полное исследование (найти область определения, точки разрыва, интервалы монотонности, точки экстремума, направление выпуклости, точки перегиба, асимптоты).

;

Решение:

а)

Решение:

1. Область определения функции.

2. Четность и нечетность функции.

 функция не обладает свойствами нечетной и четной функции.

3. Асимптоты.

а) вертикальные асимптоты в точках разрыва.

Функция не определена в точке. Исследуем характер разрыва:

Таким образом, в точке – разрыв 2-го рода.

б) горизонтальные

Горизонтальных асимптот нет

в) наклонные

y=kx+b

Наклонных асимптот нет.

4. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: полагаем x=0, тогда.

С осью OX: полагаем y=0, тогда,  x=0.

5. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем производную функции.

Решая, получим точки:.

Кроме того:.

Составим таблицу для определения знака первой производной

x (-; )

( ;1)

(1;1,5) 1,5 ( ;+)

- 0 - - 0 +

y убывает 0 убывает убывает

возрастает

6. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную

Составим таблицу для определения знака второй производной

x (-;-2,3) -2,3 (-2,3;0) 0 (0;1) (1;1,3) 1,3 (1,3;+)

- 0 + 0 - + 0 -

y выпукла

вогнута 0 выпукла вогнута

выпукла

Построим график функции

б)

1. Область определения функции: - вся действительная ось.

2. Четность и нечетность функции.

 функция не обладает свойствами четности и нечетности.

3. Асимптоты.

а) вертикальных асимптот нет в силу непрерывности данной функции.

б) горизонтальные

Горизонтальных асимптот нет.

в) наклонные

y=kx+b

Наклонная асимптота.

4. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: полагаем x=0, тогда.

С осью OX: полагаем y=0, тогда таких точек пересечения нет с осью ОХ.

5. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем производную функции.

Решая, получим точки:. Кроме того

Составим таблицу для определения знака первой производной

x (-;-1) -1 (-1;1) 1 (1; +)

+ 0 - 0 +

y возрастает max

убывает min

возрастает

6. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную

Точка перегиба.

Составим таблицу для определения знака второй производной

x (-;0) 0 (0; +)

- 0 +

y выпукла

вогнута

Построим график функции: