Найти матрицу, обратную данной. Сделать проверку

  • ID: 40930 
  • 12 страниц

Фрагмент работы:

Вариант 2

1. Выполните операции:....

Решение:

2. Найти произведение матриц АВ.......

Решение:

1 0 4 1 1 3

=...

2 -1 6 1 0 -1

1?1+0?2+4?1 1?1+0?(-2)+4?0 1?3+0?4+4?(-1) 5 1 -1

=...

2?1-1?2+6?1 2?1-1?(-2)+6?0 2?3-1?4+6?(-1) 6 4 -4

3. Найти матрицу, обратную данной. Сделать проверку....

Решение:

Находим определитель матрицы A и алгебраические дополнения Aij:

1 -2 1

=...

-1 1 2

=...

1 2 1 2 1 1

=...

-1 2 -1 2 3 1

=...

-1 1 -1 1 3 1

Проверка:

1 -2 1 ?... 1 5 -3

=...

-1 1 2 4 1 7

=...

3?1+1?(-7)+1?4 3?5+1?3+1?1 3?(-3)+1?2+1?7 0 19 0 0 1 0

-1?1+1?(-7)+2?4 -1?5+1?3+2?1 -1?(-3)+1?2+2?7 0 0 19 0 0 1

4. Решить систему с помощью обратной матрицы....

Решение:

Решим эту систему с помощью обратной матрицы. В этом случае решение находится по формуле:

X=A-1?B

Найдем матрицу, обратную матрице A. Для этого найдем определитель матрицы A и алгебраические дополнения Aij:

1 3 -13

=...

2 -1 3

=...

-1 3 -1 3 -1 1

=...

2 3 2 3 4 1

=...

2 -1 2 -1 4 -1

Тогда:

5. Найти ранг матрицы....

Решение:

Преобразуем матрицу методом Гаусса:

1 7 -6 4 2 ~ 1 7 -6 4 2 ~ 1 7 -6 4 2

3 2 -1 3 1 0 -19 17 -9 -5 0 -19 17 -9 -5

5 16 -13 11 5 0 -19 17 -9 -5 0 0 0 0 0

1 -12 11 -5 -3 0 -19 17 -9 -5 0 0 0 0 0

Количество ненулевых строк в преобразованной матрице равно двум, поэтому ранг матрицы равен двум.

6. Решить систему методом Гаусса....

Решение:

Запишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее методом Гаусса (прямой ход):

1 -2 1 1 2 ~ 1 -2 1 1 2 ~ 1 -2 1 1 2

1 3 -2 -1 3 0 5 -3 -2 1 0 5 -3 -2 1

2 1 1 5 4 0 5 -1 3 0 0 0 2 5 -1

2 1 -1 1 4 0 5 -3 -1 0 0 0 0 1 -1

Обратный ход:

7. Найти размерность и базис подпространства решений однородной системы линейных уравнений....

Решение:

Запишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее методом Гаусса:

1 -2 1 -1 ~ 1 -2 1 -1 ~ 5 0 -1 3 ~ 10 0 0 5

2 1 -1 2 0 5 -3 4 0 5 -3 4 0 10 0 5

3 -2 -1 1 0 4 -4 4 0 0 -8 4 0 0 -8 4

2 -5 1 -2 0 -1 -1 0 0 0 -8 4 0 0 0 0

Ранг матрицы равен 3, поэтому в системе есть 3 базисных и 4-3=1 свободная переменная. Выберем в качестве свободной переменной x4. Найдем фундаментальную систему решений:

x1=-0,5x4

x2=-0,5x4

x3=0,5x4

=...

Фундаментальная система решений однородной системы:

8. Доказать, что векторы......... образуют базис и разложить вектор... по этому базису.

Решение:

Найдем определитель, составленный из координат векторов...... и...:

1 3 4

=...

3 1 -1

Т.к. определитель не равен 0, то векторы образуют базис. Найдем координаты вектора... в этом базисе. Для этого нужно найти решение системы уравнений:

Решим ее методом Крамера:

2 2 3, ==>...

=...

-9 -1 -1

1 2 3, ==>...

=...

4 -9 -1

1 2 2, ==>...

=...

4 -1 -9

Таким образом, вектор... в базисе......... имеет координаты:...(-2;-1;2).

9. Найти угол между векторами... и..................

Решение:

=...

=...

==>...

10. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Средствами векторной алгебры найти: 1) угол между рёбрами А1А2 и А1А4; 2) площадь грани А1А2А3; 3) проекцию вектора А1А3 на вектор А1А4; 4) объём пирамиды. А1(4, 4, 10), А2(7, 10, 2), А3(2, 8, 4), А4(9, 6, 9).

Решение:

1) Угол между ребрами найдем из формулы:

=...

=...

==>...

2)...

=...

3 6 -8 4 -6 -2 -6 -2 4

-2 4 -6

Тогда

3)..., ==>...

=...

=...

4)

3 6 -8

=...

5 2 -1

11. Построить линию...

Решение:

Получается из графика функции... путем следующих преобразований:

1) смещение влево вдоль оси X на 2. Результат:...

2) зеркальное отображение относительно оси OX. Результат:...

3) смещение вверх на 1. Результат:...

12. На прямой... найти точку, равноудалённую от двух заданных точек А(1, 1) и В(3, 0).

Решение:

Пусть M(x0,y0) - искомая точка. Координаты этой точки удовлетворяют уравнению прямой, поэтому..., ==>..., ==> M(x0,-2x0-11)

Найдем расстояния от этой точки до точек А и В:

По условию эти расстояния равны, поэтому:

==>...

M(-...,-...)

13. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую ? и точку А.

?:... А(0, 2, 1).

Решение:

Составим уравнение плоскости по трем точкам. Для этого найдем две любые точки, принадлежащие прямой. Запишем уравнение прямой в параметрической форме:

==>...

t=0:...

t=1:...

x-x1 y-y1 z-z1

=...

x3-x1 y3-y1 z3-z1

x-0 y-2 z-1

=...

4-0 0-2 2-1

=...

-2 1 4 1 4 -2

=...

=...

5x+6y-8z-4=0 - уравнение искомой плоскости

14. Найти точку М?, симметричную точке М(2, -1, 1) относительно прямой...

Решение:

Находим уравнение плоскости, которая перпендикулярна данной прямой. Направляющий вектор прямой будет являться нормальным вектором плоскости:

=...

Составляем уравнение плоскости по нормальному вектору и точке, принадлежащей прямой:

=...

=...

=...

Находим точку пересечения прямой и плоскости:

==>...

=...

=...

==>...

Полученная точка является серединой отрезка.... Находим координаты точки М?:

15. Даны два линейных преобразования:...... Найти преобразование, выражающее... через... и преобразование, выражающее... через...

Решение:

Для того чтобы найти преобразования, выражающие......... через x1, x2 и x3, нужно перемножить матрицы преобразований:

1 1 -1 5 -4 2

=...

2 2 -3 6 -3 2

1?*5+1?(-4)-1?6 1?(-4)+1?1-1?(-3) 1?2+1?(-2)-1?2 -5 0 -2

=...

2?5+2?(-4)-3?6 2?(-4)+2?1-3?(-3) 2?2+2?(-2)-3?2 -16 3 -6

Таким образом

Для нахождения обратного преобразования находим обратную матрицу:

-5 0 -2

=...

-16 3 -6

=...

3 -6 3 -6 7 -8

=...

-16 -6 -16 -6 -21 -8

=...

-16 3 -16 3 -21 7

Таким образом

16. Найти собственные числа и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей...

Решение:

=...

=...

=...

=...

=...

Находим корни этого уравнения. Целыми корнями могут быть делители свободного члена.

подстановкой убеждаемся, что k1=2 - корень уравнения.

k3-7k2-4k+28 k-2

k3-2k2 k2-5k-14

-5k2-4k

-5k2+10k

-14k+28

-14k+28

0

Находим остальные корни:

k2-5k-14=0

Таким образом, k1=2, k2=-2, k3=7.

Найдем собственные векторы, соответствующие каждому из корней характеристического уравнения

k1=2

Пусть ?3=1, тогда ?1=0, ?2=-1. Таким образом, (0;-1;1) - первый собственный вектор.

k2=-2

Пусть ?3=1, тогда ?1=-2, ?2=1. Таким образом, (-2;1;1) - второй собственный вектор.

k3=7.

Пусть ?3=1, тогда ?1=1, ?2=1. Таким образом, (1;1;1) - третий собственный вектор.

17. Дано уравнение кривой второго порядка... Используя теорию квадратичных форм: 1) найти новый базис и направления осей; 2) написать матрицу перехода и проверить, что она является ортогональной; 3) получить матрицу квадратичной формы в новом базисе; 4) изобразить кривую в первоначальной системе координат.

Решение:

1) матрица кривой имеет вид:

Найдем собственные числа и собственные векторы матрицы

=...

-... 9-?

=...

=...

=...

=...

Найдем собственные векторы для каждого из собственных чисел.

?1=6

? x2=...x1

Полагая x1=1, получим:...

?2=18

=...

Полагая x2=1, получим:...

2) Построим ортонормированный базис

Матрица перехода S и обратная к ней равны:

3) матрица квадратичной формы в новом базисе будет иметь вид:

4) формулы связывающие координаты x и...

Приведем уравнение кривой к каноническому виду

Получили каноническое уравнение эллипса с полуосями... и.... Изобразим его в первоначальной системе координат: