14 задач. Найти угол между векторами

  • ID: 40899 
  • 10 страниц

Фрагмент работы:

Вариант 04

1. Найти угол между векторами..........

Решение:

Вычислим предварительно величины:

Угол между двумя векторами определяется по формуле:

2-5. По известным вершинам пирамиды:............ средствами векторной алгебры найти:

2) угол между векторами... и...;

3) площадь грани...;

4) проекцию вектора... на вектор...;

5) объем пирамиды...;

Решение:

2.......

Тогда:...

3. Для вычисления площади грани... потребуются вектора... и....

Вычислим векторное произведение этих векторов:....

Тогда площади грани... равна:....

4. Проекцию вектора... на вектор... определим по формуле:

5. объем пирамиды... вычислим по формуле:....

В итоге получим:....

6. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(-1,7) и середину отрезка, соединяющего точки B(3,4) и С(15,8).

Решение:

Пусть точка S, является серединой отрезка, соединяющего точки B(3,4) и С(15,8).

Координаты точки S определим по формуле:

Уравнение прямой, проходящее через 2 точку, примет вид:

7. Построить линии, заданные уравнениями в декартовой системе координат:

8. Построить линии, заданные уравнениями в декартовой системе координат:

Получили уравнение гиперболы с центром в точке... и полуосями....

9. Построить линию заданную параметрически. Исключив параметр t, получить уравнение линии в декартовой прямоугольной системе координат.

Решение:

Графиком функции, заданной параметрически кривой будет являться прямая x = 1, причем область значений....

10. Построить линию, заданную в полярной системе координат.

Решение:

Задана кривая..., где....

Если параметр..., то график расширяется.

Если параметр..., то график сжимается.

Пусть..., например....

Тогда

Построим линию по точкам. Составим таблицу для построения:

i ?0 ?

0 0 0,00

1 30 1,45

2 60 2,05

3 90 2,51

4 120 2,89

5 150 3,24

6 180 3,54

7 210 3,83

8 240 4,09

9 270 4,34

10 300 4,58

11 330 4,80

12 360 5,01

Построим график функции по точкам

11. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую ? и точку A.

Решение:

?:... А(2, 4, -1).

Составим уравнение плоскости по трем точкам. Для этого найдем две любые точки, принадлежащие прямой. Запишем уравнение прямой в параметрической форме:

==>...

t=0:...

t=1:...

Тогда

-уравнение искомой плоскости.

12. По четырем точкам... составить:

1) уравнение плоскости (?), проходящей через точки...;

2) канонические уравнения прямой, проходящей через точку..., перпендикулярно плоскости ?;

Решение:

1) определим уравнение грани... по формуле:

Преобразуя, получим:... - уравнение плоскости....

2) Вектор нормали к плоскости имеет вид:....

Каноническое уравнение определим по формуле:....

13. Найти точку М?, симметричную точке М(1, 2, 3) относительно прямой...

Решение:

Находим уравнение плоскости, которая перпендикулярна данной прямой. Направляющий вектор прямой будет являться нормальным вектором плоскости:

={0;-1;1}

Составляем уравнение плоскости по нормальному вектору и точке, принадлежащей прямой:

=...

=...

-y+z-1=0

Находим точку пересечения прямой и плоскости:

==>...

=...

=...

==>....

Полученная точка является серединой отрезка.... Находим координаты точки М?:

12. Дано уравнение кривой второго порядка....

Используя теорию квадратичных форм:

1) найти новый базис и направления осей;

2) написать матрицу перехода и проверить, что она является ортогональной;

3) получить матрицу квадратичной формы в новом базисе;

4) изобразить кривую в первоначальной системе координат.

Решение:

1) матрица кривой имеет вид:

Найдем собственные числа и собственные векторы матрицы

=...

2 3-?

=...

?2-3?-4=0

=...

Найдем собственные векторы для каждого из собственных чисел.

?1= -1

? x2=...x1

Полагая x1=2, получим:...

?2=4

=...

Полагая x1=1, получим:...

2) Построим ортонормированный базис

Матрица перехода S и обратная к ней равны:

3) матрица квадратичной формы в новом базисе будет иметь вид:

4) формулы связывающие координаты x и...

Приведем уравнение кривой к каноническому виду

Получили каноническое уравнение гиперболы с полуосями... и.... Изобразим его в первоначальной системе координат: