Контрольная работа 1, 2: вариант 13

  • ID: 40867 
  • 15 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа 1, 2: вариант 13

Контрольная работа №1 (Вариант 13)

Задание 1.

Решение:

Выполним чертеж:

а)................

Скалярное произведение определяется по формуле:....

Диагонали параллелограмма:

Значит наибольшая длина диагонали....

б) Угол между диагоналями равен:

значит....

с)...

4. Площадь параллелограмма можно определить по формуле..., причем........

Тогда....

Вторую высоту, опущенную на сторону, a определим по формуле:....

Задание 2. Даны координаты вершин треугольника ABC:..........

Решение:

а) Уравнение и длину стороны AB

(уравнение стороны AB).

(длина стороны AB).

б) Уравнение и длину высоты CD

Вектор нормали для стороны AB имеет вид:..., тогда уравнение высоты примет вид:... (уравнение стороны СD).

Точка пересечения стороны AB и CD определим из системы:....

(длина стороны CD)

с) Точку пересечения медиан

Точка M является серединой отрезка AB (из свойств медианы).

Получим:.......

Тогда уравнение прямой CM примет вид:...-(уравнение медианы CM).

Точка N является серединой отрезка BC (из свойств медианы).

Получим.......

Тогда уравнение прямой AN примет вид:...-(уравнение медианы AN).

Точка P является точкой пересечения медиан CM и AN, координаты которой определим из системы уравнений:

d) Центр описанной окружности

Центр по определению лежит на серединных перпендикулярах.

Определим уравнения 2-х из них:

Уравнение OM примет вид:....

Уравнение стороны BC примет вид:

(уравнение BC).

Уравнение ON примет вид:....

Решим систему уравнений:....

Задание 3....;...;...;...

а) Площадь ABC.

б) Объем пирамиды.

Задание 4.

а) Уравнение плоскости ABC определим по формуле:

Уравнение плоскости имеет вид:....

б) уравнение высоты, опущенной из вершины D:...

c) Точку H пересечения высоты с плоскостью определим из решения системы уравнений:

Координаты точки:....

Задание 5.

a) Цент описанной окружности найден в задаче 2.

Определим радиус окружности:....

Уравнение окружности примет вид:....

б) Каноническое уравнение параболы, если известно, что парабола симметрична относительно оси абсцисс и проходит через точки O(0,0) и M(1,-4).

Решение:

Общий вид уравнения параболы:....

В силу симметрии, уравнение параболы примет вид:....

Составим 2 уравнения для определения неизвестных параметров:....

Задание 6. Даны четыре матрицы

Решение:

а) Вычислим выражение:

б)...

Найдем обратную матрицу. Для этого найдем определитель и алгебраические дополнения:

1 8 2

=...

1 1 0

=...

1 0 1 0 7 2

=...

1 0 1 0 -2 2

=...

1 1 1 1 -2 7

Тогда

Проверка:

Найдем обратную матрицу. Для этого найдем определитель и алгебраические дополнения:

Тогда

Проверка:

Задание 7. Решить систему с помощью обратной матрицы м методом Гаусса.

Решение:

а)...

Найдем обратную матрицу. Для этого найдем определитель и алгебраические дополнения:

4 1 0

=...

5 1 0

=...

1 0 1 0 7 2

=...

5 0 5 0 0 2

=...

5 1 5 1 0 7

Тогда

Проверка:

Найдем решение системы C?X=b с помощью обратной матрицы.

Таким образом, решением системы будут числа: x=1, y=-1, z=2.

Метод Гаусса

б)...

Запишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее методом Гаусса:

Число ненулевых строк как основной, так и расширенной матриц, равно 3, поэтому Rg A = Rg A* =3 и по теореме Кронекера-Капелли система совместна. Ранг основной матрицы равен 3, поэтому в системе есть 3 базисных и 4-3=1 свободных переменные. Выберем в качестве свободных переменных.... Найдем общее решение неоднородной системы, причем...- базисные неизвестные:

Общее решение

или...

Из общего решения системы найдем какое-нибудь частное решение.

Запишем частное уравнение:

Задание 8.............

Решение:

Вычислим определитель матрицы, построенной на векторах...:

1 3 4

=...

2 1 0

Определитель отличен от нуля. Значит, вектора... образуют базис.

Разложим вектор...:....

Воспользуемся метод Гаусса:

3 1 1 5 3 1 1 5

1 0 1 2 ? 0 1 -2 -1 ?

1 1 3 5 0 -2 -8 -10

3 1 1 5 3 1 1 5

? 0 1 -2 -1 ? 0 1 -2 -1

0 -2 -8 -10 0 0 12 12

Ответ:.......

Контрольная работа №2

Задание 1. Найти пределы последовательностей

а)....

б)....

в)....

г)...

д).......

е)...

ж)....

Задание 2. Задана функция... и два значения аргумента... и.... Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и справа; 3) найти пределы при.... 4) сделать схематический чертеж.

Решение:

Функция... определена при... и непрерывна на интервалах... и..., так как задана на них основными элементарными функциями.

Исследуем функцию... на непрерывность в точке. Найдем в этой точке односторонние пределы функции.

При...:.......

Так как один из односторонних пределов равен бесконечности, то в точке... имеется разрыв второго рода.

Строим график:

Задание 3. Дано комплексное число z. Требуется: 1) записать z в алгебраической, тригонометрической и показательной формах; 2) вычислить выражение..., ответ записать в показательной и алгебраической формах и изобразить их значения точками на комплексной плоскости.

1)...

Модуль z:...

Тригонометрическая форма:....

Показательная форма:....

2)...

Тогда

- тригонометрическая форма.

Алгебраическая форма:

Показательная форма:

Вычислим....

Извлечение корня n-й степени из комплексного числа выполняется по формуле:

=...

при...

при...

при...

Задание 4.

а)...

б)...

в)...

г)...

д)...

Дифференцируем обе части равенства:

Тогда

Найти производные.

а)...

б)...

Вычислим предварительно:

Тогда:

Задание 5.

Положим:.....

Разложим функцию в ряд Тейлора в точке...:

Задание 6.

а)...

б)...

Задание 7....

Решение:

Вычислим экстремумы функции.... Для этого найдем критические точки данной функции, то есть нули первой производной функции:....

При значении......, а при......, то... - не является точкой экстремума. Значит функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений на концах отрезка. Наименьшее значение функция принимает в точке... и равно.... Наибольшее значение функция принимает в точке... и....

Задание 8. Исследовать функцию....

Решение:

1. Область определения функции:....

2. Четность и нечетность функции.

==> функция не обладает свойствами четной и нечетной функции.

3. Асимптоты.

а) вертикальные асимптоты

Исследуем точку x=0:

Так как односторонние пределы равны бесконечности, то точка x=0 имеет разрыв второго рода.

б) горизонтальные

Горизонтальных асимптот нет.

в) наклонные

y=k?x+b

Наклонных асимптот нет.

4. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: точек нет

С осью OX: полагаем y=0, тогда...

5. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем производную функции.

Составим таблицу для определения знака первой производной

x (-?;0) 0 (0,0,86) (0; +?) (0; +?)

- нет - + +

y убывает разрыв убывает min

возрастает

6. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную

Составим таблицу для определения знака второй производной

x (-?;-1,08) -1,08 (-1,08;0) 0 (0;+...)

+ 0 - нет +

y вогнута -3,46 выпукла разрыв вогнута

Строим график: