Шифр 03. Даны вершины треугольника. Сделать чертеж и найти

  • ID: 40734 
  • 17 страниц

Фрагмент работы:

Задача 10. Даны вершины треугольника (1; 0),(4;4),(-1; 4).

Сделать чертеж и найти:

1) длину стороны ;

внутренний угол при вершине ;

уравнение высоты , проведенной через вершину ;

уравнение медианы , проведенной через вершину ;

точку пересечения высоты и медианы ;

длину высоты, опущенной из вершины .

Решение: Начнем решение задачи с выполнения чертежа. Построим точки А(1;0), В(4;4), С(-1;4) в прямоугольной системе координат Oxy и, соединив их, получим треугольник АВС. Проведем высоту СD и медиану ВЕ, уравнения которых необходимо найти. Причём, [image], а точка Е – середина отрезка АС.

[image]

1. Длину стороны АВ находим как расстояние между двумя точками А(1;0) и В(4;4):

[image]

[image]

2. Отметим, что угол А в треугольнике является острым. Тангенс этого угла можно найти по формуле

[image]

Найдем угловые коэффициенты прямых:

[image]

[image]

Тогда, [image]

С помощью калькулятора или по таблице Брадиса определяем, что такое значение тангенса соответствует углу [image]А[image]39,10.

3. Уравнение высоты СD запишем в виде уравнения пучка прямых, проходящих через точку С:

[image].

По условию перпендикулярности СD и АВ: [image]

Ранее (см. п. 2) было найдено: [image].

Тогда, [image]

Подставим в уравнение [image] получим

[image] или [image];

[image] – уравнение высоты СD.

4. Медиана ВЕ соединяет вершину В с точкой Е, которая является серединой отрезка АС. Координаты точки Е:

[image] [image]

Составим уравнение медианы ВЕ по двум точкам В[image] и Е[image], воспользовавшись формулой: [image].

[image] [image]

[image]

[image]

[image] – уравнение медианы ВЕ.

5. Координаты точки пересечения высоты CD и медианы ВЕ найдем, решив систему уравнений для прямых СD и ВЕ:

[image]

В результате получим точку пересечения К[image], координаты которой соответствуют точке на чертеже.

6. Длину высоты найдем как расстояние от точки С до прямой АВ по формуле [image]

Уравнение прямой АВ составим, используя уравнение пучка прямых:

[image], где [image].