Шифр 07. Даны вершины треугольника. Сделать чертеж и найти длину стороны АВ; внутренний угол при вершине А

  • ID: 40722 
  • 15 страниц

Фрагмент работы:

Задача 7. Даны вершины треугольника:

Сделать чертеж и найти:

длину стороны АВ;

внутренний угол при вершине А;

уравнение высоты, проведенной через вершину С;

уравнение медианы, проведенной через вершину В;

точку пересечения медианы ВЕ и высоты СD;

длину высоты, опущенной из вершины С.

Решение. Начнем решение задачи с выполнения чертежа. Построим точки

А(-1;0), В(2;4), С(3;2) в прямоугольной системе координат Oxy и, соединив их, получим треугольник АВС. Проведем высоту СD и медиану ВЕ, уравнения которых необходимо найти. Причём, [image], а точка Е – середина отрезка АС.

[image]

1. Длину стороны АВ находим как расстояние между двумя точками А(-1;0) и В(2;4):

[image]

[image]

2. Отметим, что угол А в треугольнике является острым. Тангенс этого угла можно найти по формуле

[image]

Найдем угловые коэффициенты прямых:

[image]

[image]

Тогда, [image]

С помощью калькулятора или по таблице Брадиса определяем, что такое значение тангенса соответствует углу [image]А[image]26,60.

3. Уравнение высоты СD запишем в виде уравнения пучка прямых, проходящих через точку С:

[image].

По условию перпендикулярности СD и АВ: [image]

Ранее (см. п. 2) было найдено: [image].

Тогда, [image]

Подставим в уравнение [image] получим

[image] или [image];

[image] – уравнение высоты СD.

4. Медиана ВЕ соединяет вершину В с точкой Е, которая является серединой отрезка АС. Координаты точки Е:

[image] [image]

Составим уравнение медианы ВЕ по двум точкам В(–1;4) и Е[image], воспользовавшись формулой: [image].

[image] [image]

[image]

[image]

[image]

[image] – уравнение медианы ВЕ.

5. Координаты точки пересечения высоты CD и медианы ВЕ найдем, решив систему уравнений для прямых СD и ВЕ:

[image]

В результате получим точку пересечения К[image], координаты которой соответствуют точке на чертеже (рис. 1).

6. Длину высоты найдем как расстояние от точки С до прямой АВ по формуле [image]

Уравнение прямой АВ составим, используя уравнение пучка прямых:

[image], где [image].

Получим [image], или [image];

[image] – уравнение прямой АВ.