Шифр 07. Даны вершины треугольника. Сделать чертеж и найти длину стороны АВ; внутренний угол при вершине А

  • ID: 40722 
  • 15 страниц

Фрагмент работы:

Задача 7. Даны вершины треугольника:

А (–1; 0), В (2; 4), С (3; 2);

Сделать чертеж и найти:

длину стороны АВ;

внутренний угол при вершине А;

уравнение высоты, проведенной через вершину С;

уравнение медианы, проведенной через вершину В;

точку пересечения медианы ВЕ и высоты СD;

длину высоты, опущенной из вершины С.

Решение. Начнем решение задачи с выполнения чертежа. Построим точки

А(-1;0), В(2;4), С(3;2) в прямоугольной системе координат Oxy и, соединив их, получим треугольник АВС. Проведем высоту СD и медиану ВЕ, уравнения которых необходимо найти. Причём, а точка Е – середина отрезка АС.

1. Длину стороны АВ находим как расстояние между двумя точками А(-1;0) и В(2;4):

2. Отметим, что угол А в треугольнике является острым. Тангенс этого угла можно найти по формуле

Найдем угловые коэффициенты прямых:

Тогда

С помощью калькулятора или по таблице Брадиса определяем, что такое значение тангенса соответствует углу А 26,60.

3. Уравнение высоты СD запишем в виде уравнения пучка прямых, проходящих через точку С:

По условию перпендикулярности СD и АВ:

Ранее (см. п. 2) было найдено:.

Тогда

Подставим в уравнение получим

или ;

– уравнение высоты СD.

4. Медиана ВЕ соединяет вершину В с точкой Е, которая является серединой отрезка АС. Координаты точки Е:

Составим уравнение медианы ВЕ по двум точкам В(–1;4) и Е, воспользовавшись формулой:.

– уравнение медианы ВЕ.

5. Координаты точки пересечения высоты CD и медианы ВЕ найдем, решив систему уравнений для прямых СD и ВЕ:

В результате получим точку пересечения К, координаты которой соответствуют точке на чертеже (рис. 1).

6. Длину высоты найдем как расстояние от точки С до прямой АВ по формуле

Уравнение прямой АВ составим, используя уравнение пучка прямых:

где.

Получим, или ;

– уравнение прямой АВ.

Тогда.

Ответы:

1) 2) 3) – уравнение высоты СD;

4) – уравнение медианы ВЕ; 5) К ; 6)

Задача 17. Вычислить пределы функции y=f(x), при указанном поведении аргумента x.

;

а) ; б ) ; в) ; г) ; д).

Решение: В задаче следует найти предел частного. С этой целью необходимо вычислить пределы числителя и знаменателя дроби, подставив в них предельное значение аргумента.

а)

При подстановке в знаменатель и числитель дроби убеждаемся, что значения равны нулю, поэтому теорема о пределе частного здесь не применима. Неопределенность вида при может быть раскрыта сокращением дроби на множитель вида (х–х0), который обращает числитель и знаменатель дроби в нуль, в данном случае на (х-1). Поэтому, следует разложить на множители числитель и знаменатель дроби

D =

D =

б)

Здесь использована теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций.

в)

Здесь применима теорема о пределе частного, так как существуют конечные пределы числителя и знаменателя, и предел знаменателя не равен нулю.

г)

Здесь применима теорема о пределе частного.

д).

Пределы числителя и знаменателя дроби равны. В этом случае говорят, что имеется неопределенность вида «бесконечность на бесконечность». Теорема о пределе частного здесь не применима.

Чтобы раскрыть неопределенность вида при, каждый член числителя и знаменателя дроби делят на x в наивысшей степени (в нашем примере на х2), отчего величина дроби не изменится, но исчезнет неопределенность.

так как

(по теореме о связи бесконечно большой и бесконечно малой функций).

Ответы.

Задача 25

Вычислить пределы: а) ; б)

Решение:

а) В рассматриваемых задачах неопределенность вида была раскрыта после замены бесконечно малых функций на эквивалентные им и сокращения полученных дробей на

бесконечно малую функцию х.

б)

Очевидно, что

Далее воспользуемся вторым замечательным пределом:

Ответ.

Задача 35. Найти производные данных функций и их дифференциалы

а) ; б) ; в) ;

г )

Решение:

а).

Приведем функцию y к виду, удобному для дифференцирования, используя правила действия со степенями

По правилу дифференцирования суммы и разности функции:

Тогда дифференциал функции y:.

б)

Воспользуемся правилом дифференцирования частного

где

Тогда дифференциал функции y:

в)

Функция сложная. Ее можно представить в виде, где

Тогда

Производную функции находим по правилу дифференцирования произведения:

где

Таким образом

Тогда дифференциал функции y:

г)

Производную второго слагаемого найдем как производную сложной функции где применяя формулу :

Производную функции найдем как производную функции, где применяя формулу.

Таким образом

Тогда дифференциал функции y:

Задача 48. Исследовать функцию y = f (x) средствами дифференциального исчисления и построить ее график

1. Область определения функции.

x(-;+)

2. Четность и нечетность функции.

f(-x)=(-x)3+3(-x)2=-x3+3x2f(x), поэтому функция свойствами четности или нечетности не обладает

3. Периодичность функции.

Данная функция не является периодической как многочлен.

4. Непрерывность функции.

Данная функция является непрерывной на всей области определения как многочлен.

5. Поведение функции на концах области определения.

6. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем производную функции.

y’=3x2+6x

y’=0 при 3x2+6x =0

3x(x+2)=0

x1=0 x2=-2

Составим таблицу для определения знака производной

x (-;-2) -2 (-2;0) 0 (0;+ )

y’ + 0 - 0 +

y возрастает максимум

ymax=4 убывает минимум

ymin=0 возрастает

7. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную

y”=6x+6

y”=0 при 6x+6=0

x=-1

Составим таблицу для определения знака второй производной

x (-;-1) -1 (-1;+ )

y” - 0 +

y выпукла перегиб

yпер=2 вогнута

8. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: полагаем x=0, тогда y=0.

С осью OX: полагаем y=0, тогда.

x3+3x2=0

x2 (x+3)=0

x1=0 x2=-3

9. Дополнительные точки.

x=1: y=13+312=4

Построим график функции

Задача 55. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

а) б) в)

г) д)

Решение: Вычислим интеграл методом непосредственного интегрирования. При этом используются табличные интегралы от степенных функций:

а)

Проверка:

б)

Проверка:

в)

Проверка:

г) Проверка:

д)

Проверка:

Задача 63.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и

Сделать чертеж.

Решение: Выполним чертеж

Первое уравнение определяет параболу, а второе – прямую линию.

Найдем точки пересечения параболы и прямой, решив систему уравнений:

Решим полученное квадратное уравнение:

Найдем соответствующие ординаты из уравнения. Итак, точки пересечения параболы и прямой есть точки.

Заштрихуем плоскую фигуру, ограниченную параболой и прямой. Здесь функции и ограничивают фигуру соответственно снизу и сверху, то есть при.

Для нахождения искомой площади воспользуемся формулой

Ответ: Искомая площадь равна:

Задача 78. Найти полный дифференциал функции двух переменных

Решение: Сначала находим частные производные.

здесь и использована формула.

здесь и использована формула.

Полный дифференциал функции:

Задача 81. Дана функция и точка.

Найти: а) градиент данной функции в точке М;

б) производную данной функции в точке М по направлению вектора.

Решение:

а) Найдем частные производные:

Вычислим значения в точке :

Вектор-градиент равен:

Величина скорости наибольшего роста функции:

б) Найдем направляющие косинусы вектора :

;.

Подставим все найденные значения в формулу для производной по направлению:

Так как, то функция в точке в направлении вектора убывает со скоростью

Ответ: ;