Задачи 6, 7, 8, 9, 10, 11. Образует ли линейное пространство над полем вещественных чисел множество всех сходящихся последовательностей

  • ID: 40676 
  • 7 страниц

Фрагмент работы:

Задача 6

Образует ли линейное пространство над полем вещественных чисел множество всех сходящихся последовательностей...?

Решение:

Для сходящихся последовательностей выполняются следующие свойства:

1)...

2)...

3)......

4)......

5)...

6)...

7)...

8)...

Поэтому эти последовательности образуют линейное пространство над полем вещественных чисел.

Задача 7

Найти размерность и базис пространства решений однородной системы:

Решение:

Найдем ранг матрицы А коэффициентов системы уравнений методом окаймляющих миноров:

В качестве определителя первого порядка возьмем элемент матрицы...:

Вычислим минор 2-го порядка, содержащий минор...:

Вычислим миноры третьего порядка, окаймляющие...:

Все миноры третьего порядка равны нулю, поэтому.... То есть размерность пространства решений равен 2, базисными переменными являются... и....

Задача 8

Проверив, что векторы......... образуют базис, найти разложение вектора... по этому базису:

Решение:

Координаты вектора... в базисе......... являются решением системы уравнений:

Представим систему линейных уравнений в виде:

Решим эту систему методом Гаусса:

Получили систему:

Таким образом

Задача 9

Линейное преобразование в пространстве Е3 имеет матрицу

Выяснить геометрический смысл этого преобразования и найти образ вектора...

Решение:

Геометрический смысл:

Пусть... - произвольный вектор.

Таким образом, данное преобразование является проекцией трехмерного вектора на плоскость хОу.

Образ вектора...:

Задача 10

Даны два линейных преобразования. Найти преобразование, выражающее... через..., и преобразование, выражающее... через....

Решение:

Запишем преобразования в матричном виде:

где

Тогда...

Получили преобразование, выражающее... через...:

Из равенства... следует, что.... Найдем обратную матрицу:

Получили преобразование, выражающее... через...:

Задача 11

Найти собственные значения и собственные вектора линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А:

Решение:

Для нахождения собственных значений составим матрицу

Найдем определитель этой матрицы и приравняем его нулю:

Собственные вектора являются решением системы уравнений...

1)...

Базисными будут переменные..., переменная... - свободная

2)...

Базисными в этом случае также будут переменные..., переменная... - свободная

3)...

Базисными в этом случае также будут переменные..., переменная... - свободная