Задачи 6, 7, 8, 9, 10, 11. Образует ли линейное пространство над полем вещественных чисел множество всех сходящихся последовательностей

  • ID: 40676 
  • 7 страниц

Фрагмент работы:

Задача 6

Образует ли линейное пространство над полем вещественных чисел множество всех сходящихся последовательностей [image]?

[image], [image].

Решение:

Для сходящихся последовательностей выполняются следующие свойства:

1) [image]

2) [image]

3) [image] [image]

4) [image] [image]

5) [image]

6) [image]

7) [image]

8) [image]

Поэтому эти последовательности образуют линейное пространство над полем вещественных чисел.

Задача 7

Найти размерность и базис пространства решений однородной системы:

[image]

Решение:

Найдем ранг матрицы А коэффициентов системы уравнений методом окаймляющих миноров:

[image]

В качестве определителя первого порядка возьмем элемент матрицы [image]:

[image].

Вычислим минор 2-го порядка, содержащий минор [image]:

[image], [image]

Вычислим миноры третьего порядка, окаймляющие [image]:

[image], [image]

Все миноры третьего порядка равны нулю, поэтому [image]. То есть размерность пространства решений равен 2, базисными переменными являются [image] и [image].

Задача 8

Проверив, что векторы [image], [image], [image] образуют базис, найти разложение вектора [image] по этому базису:

[image], [image], [image], [image].

Решение:

Координаты вектора [image] в базисе [image], [image], [image] являются решением системы уравнений:

[image]

Представим систему линейных уравнений в виде:

[image],

[image], [image], [image]

Решим эту систему методом Гаусса:

[image]

[image]

Получили систему:

[image]

[image]

Таким образом,

[image]

Задача 9

Линейное преобразование в пространстве Е3 имеет матрицу

[image]

Выяснить геометрический смысл этого преобразования и найти образ вектора [image]

Решение:

Геометрический смысл:

[image], [image], [image]

Пусть [image] - произвольный вектор.