Задачи: 13, 14 (б), 15 (б), 18, 22 (г), 27 (а), 30 (а), 33 (а)

  • ID: 40643 
  • 7 страниц

Фрагмент работы:

13. Составить уравнение плоскости ABCD, где A(3,4,1), B(0,2,-3), C(5,7,8).

Решение:

Найдем уравнение плоскости [image] по формуле:

[image].

Преобразуя, получим [image].

В итоге [image] - уравнение плоскости [image].

14(б). Построить кривую. Найти ее фокусы, директрису (для параболы) и изобразить их на чертеже.

Решение:

Задана кривая [image].

Перепишем уравнение в канонической форме: [image][image] - уравнение гиперболы.

Фокусы гиперболы: [image] - левый и правый фокусы, где [image]

Тогда [image].

[image] - эксцентриситет.

[image], [image] - левая и правая директриса гиперболы.

Выполним чертеж:

[image]

15(б). Доказать, что заданные точки лежат в одной плоскости.

Решение:

Заданы точки A(2,-3,1), B(-1,1,1), C(-4,5,6), D(2,-3,6).

Данные точки лежали в одной плоскости, если векторы [image] лежат в этой плоскости, то есть компланарны.

Находим эти векторы: [image].

Их смешанное произведение:

[image].

Смешанное произведение равно нулю, значит, векторы компланарны, а точки лежат в одной плоскости.

18(1). Даны две смежные вершины квадрата A(-3,2), B(5,-4). Найти оставшиеся вершины.

Решение:

Определим уравнение прямой АВ по двум точкам:

[image] (АВ).

Прямая BC перпендикулярна прямой АВ, значит уравнение прямой BC имеет вид:

[image] (BC).

Прямая AD параллельна прямой BC и проходит через точку A. Тогда уравнение прямой AD примет вид: [image].

Длинна стороны AB равна: [image].

Длинна стороны BC равна: [image].

Кроме того, точка C принадлежит уравнению BC, значит: [image].

Получим систему уравнений:

[image].

Тогда получим пару точек: [image].

Аналогично запишем систему уравнений для определения координат точки D:

[image].

Тогда получим пару точек: [image].

Получается два решения:

1. A(-3,2), B(5,-4), С(11,4), D(3,10).

2. A(-3,2), B(5,-4), С(-1,-12), D(-9,-6).

22(г). Найти площадь и высоту треугольника ABC.

Решение:

Заданы координаты точек A(4,2,3), B(5,7,0), C(2,8,-2).

Вычислим векторное произведение векторов [image]: [image].

[image].

Тогда площади треугольника [image] равна: [image].

Высоту треугольника определим по формуле: