Задачи: 13, 14 (б), 15 (б), 18, 22 (г), 27 (а), 30 (а), 33 (а)

  • ID: 40643 
  • 7 страниц

Фрагмент работы:

Задачи: 13, 14 (б), 15 (б), 18, 22 (г), 27 (а), 30 (а), 33 (а)

13. Составить уравнение плоскости ABCD, где A(3,4,1), B(0,2,-3), C(5,7,8).

Решение:

Найдем уравнение плоскости... по формуле:

Преобразуя, получим....

В итоге... - уравнение плоскости....

14(б). Построить кривую. Найти ее фокусы, директрису (для параболы) и изобразить их на чертеже.

Решение:

Задана кривая....

Перепишем уравнение в канонической форме:...... - уравнение гиперболы.

Фокусы гиперболы:... - левый и правый фокусы, где...

Тогда....

- эксцентриситет.

- левая и правая директриса гиперболы.

Выполним чертеж:

15(б). Доказать, что заданные точки лежат в одной плоскости.

Решение:

Заданы точки A(2,-3,1), B(-1,1,1), C(-4,5,6), D(2,-3,6).

Данные точки лежали в одной плоскости, если векторы... лежат в этой плоскости, то есть компланарны.

Находим эти векторы:....

Их смешанное произведение:

Смешанное произведение равно нулю, значит, векторы компланарны, а точки лежат в одной плоскости.

18(1). Даны две смежные вершины квадрата A(-3,2), B(5,-4). Найти оставшиеся вершины.

Решение:

Определим уравнение прямой АВ по двум точкам:

(АВ).

Прямая BC перпендикулярна прямой АВ, значит уравнение прямой BC имеет вид:

(BC).

Прямая AD параллельна прямой BC и проходит через точку A. Тогда уравнение прямой AD примет вид:....

Длинна стороны AB равна:....

Длинна стороны BC равна:....

Кроме того, точка C принадлежит уравнению BC, значит:....

Получим систему уравнений:

Тогда получим пару точек:....

Аналогично запишем систему уравнений для определения координат точки D:

Тогда получим пару точек:....

Получается два решения:

1. A(-3,2), B(5,-4), С(11,4), D(3,10).

2. A(-3,2), B(5,-4), С(-1,-12), D(-9,-6).

22(г). Найти площадь и высоту треугольника ABC.

Решение:

Заданы координаты точек A(4,2,3), B(5,7,0), C(2,8,-2).

Вычислим векторное произведение векторов...:....

Тогда площади треугольника... равна:....

Высоту треугольника определим по формуле:

27(а). Доказать, что пары прямых параллельны.

Решение:

и....

Приведем уравнение прямой к каноническому виду:

Пусть....

Для нахождения y и z имеем две системы уравнений:

и....

Решая, получим точки:....

Уравнение прямой примет вид:

Представим уравнение первой прямой в каноническом виде:

Уравнения прямых совпадают.

30(а). Изобразить на плоскости множество, заданное системой неравеств.

Решение:

Находим точки пересечения прямых:

Строим область:

33(а). Найти координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма ABCD и четвертую вершину.

Решение:

Заданы точки А(-4,-7), В(2,6), С(3,1).

Определим уравнение прямой АВ по двум точкам:

(АВ).

Определим уравнение прямой ВC по двум точкам:

(ВC).

Уравнение прямой СD примет вид:....

Уравнение прямой AD примет вид:....

Решая систему уравнений, находим точку D:

Координаты точки S(пересечение диагоналей), определим из условия (точка пересечения диагоналей делит их пополам).

Тогда: