Составить уравнение прямых, проходящих через точку пересечения прямых 2x-3y+1=0, 3x-y-2=0 параллельно и перпендикулярно прямой x+y-1=0

  • ID: 40627 
  • 4 страницы

Фрагмент работы:

Вариант 1

1. Составить уравнение прямых, проходящих через точку пересечения прямых 2x-3y+1=0, 3x-y-2=0 параллельно и перпендикулярно прямой x+y-1=0.

Решение:

Определим точку пересечения прямых:

[image].

Уравнение прямой, проходящей через точку A, параллельно прямой x+y-1=0 имеет вид:

[image].

Уравнение прямой, проходящей через точку A, перпендикулярно прямой x+y-1=0 имеет вид: [image].

2. Определить какую описывает следующее уравнение, записав его в каноническом виде:

[image].

Решение:

1. Перепишем уравнение [image] в виде:

[image]

Проведем в скобках “дополнение до полного квадрата” и выполним очевидное преобразование:

[image]

[image]

[image]

Введем “новые” координаты [image]. Последнее уравнение в “новых ” координатах примет вид: [image] - уравнение нельзя привести к каноническому виду.

3. Найти ранг матрицы [image]

Решение:

Сделаем преобразования над матрицей:

[image].

Получили 2 линейно независимые строки.

Ранг данной матрицы: [image].

4. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера.

Решение:

[image]

Решение:

Запишем систему алгебраических уравнений в матричной форме [image] и решим ее методом Крамера.

[image], где [image], [image], [image].

Найдем главный определитель системы

Т.к. определитель системы не равен 0, то система имеет единственное решение. Найдем его по правилу Крамера

[image]

[image]

[image]

Ответ: [image], [image], [image].

5. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Решение:

[image]

Сделаем преобразования над матрицей:

[image].

Число ненулевых строк как основной, так и расширенной матриц, равно 2, поэтому Rg A = Rg A* =2 и по теореме Кронекера-Капелли система совместна. Ранг основной матрицы равен 2, поэтому в системе есть 2 базисных и 4-2=2 свободных переменные. Выберем в качестве свободных переменных [image]. Найдем общее решение неоднородной системы, причем [image]- базисные неизвестные:

[image]

Общее решение

[image] или [image]

Из общего решения системы найдем какое-нибудь частное решение.

Запишем частное уравнение:

[image]