Контрольная работа 1, 2: вариант 1

Фрагмент работы:

Контрольная работа 1.

Задание 11. Даны координаты вершин пирамиды [image]. Найти:

1) длину ребра [image];

2) угол между ребрами [image] и [image];

3) уравнение плоскости [image];

4) угол между ребром [image] и гранью [image];

5) площадь грани [image];

6) объем пирамиды [image];

7) уравнение прямой [image];

8) уравнение высоты пирамиды, опущенной из вершины [image] на грань [image].

[image], [image], [image], [image]

Решение:

1. Расстояние между двумя точками определяется формулой: [image].

Получим: [image]

2. [image], [image],

[image], [image].

Тогда: [image],

[image].

3. Для определения угла между ребром [image] и гранью [image], определим уравнение грани [image] по формуле: [image]. Преобразуя, получим [image]. Получим: [image] или уравнение грани [image] примет вид: [image].

Угол определим по формуле: [image], подставляя значения, получим: [image], [image], или [image]

4. Для вычисления площади грани [image] потребуются вектора [image] и [image].

Вычислим векторное произведение этих векторов: [image].

[image].

Тогда площади грани [image] равна: [image].

5. объем пирамиды [image] вычислим по формуле: [image].

В итоге получим: [image].

6. Используя формулу, определим уравнение прямой [image]:

[image] . Подставляя данные, получим: [image].

7. Уравнение плоскости [image] уже было найдено в пункте 3 и имеет вид:

[image].

8. Уравнение высоты, опущенной из вершины [image] на грань [image]:

[image].

А4

h А2

А1

А3

Задание 21. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее методом Крамера.

[image]

Решение:

Запишем систему алгебраических уравнений в матричной форме [image] и решим ее методом Гаусса и с помощью обратной матрицы [image].

[image], где [image], [image], [image].

Найдем главный определитель системы