Контрольная работа 3, задачи: 2, 18, 38, 58, 78, 98

  • ID: 40568 
  • 7 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа 3, таблица 2.

Задача 18. Найти решение задачи Коши:.......

Решение: Данное уравнение является линейным относительно переменной y. Тогда решение уравнения будет искать в виде....

Получим после подстановки:.... (1)

Пусть..., тогда.... Интегрируя обе части равенства, получим:

или..., где........ Подставляя в (1), получим:... или.... Интегрируя обе части равенства, получим:.......

Тогда....

Общее решение примет вид:....

Используя начальные данные..., получим... или....

Тогда решением задачи Коши является функция....

Задача 38. Найти общее решение дифференциального уравнения....

Решаем однородное уравнение:.... Составим характеристическое уравнение

Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:....

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:..........

Подставляем и получим:..., откуда....

Тогда.... Общее решение:... и....

Задача 58. Дан степенной ряд... написать первые четыре члена ряда, найти интервал сходимости ряда и выяснить вопрос о сходимости ряда на концах интервала. Причем:....

Решение: дан ряд..., написать первые четыре члена ряда

Ищем радиус сходимости ряда, используя формулу Даламбера:..., в нашем случае....

Тогда....

При... - ряд сходится. Вычислим поведение ряда на концах интервала:

При...:... - ряд знакочередующийся.

Так как... и... то есть..., то по теореме Лейбница ряд сходится.

При...:....

Применим интегральный признак сходимости рядов:... - интеграл расходится, значит, расходится и ряд.

Ответ: Ряд сходится при...

Задача 78. Найти 4 члена разложения в ряд Маклорена функции....

Решение:

Ряд Маклорена имеет вид:

Ответ:...

Задача 98. При указанных начальных условиях найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд функции..., являющейся решением заданного дифференциального уравнения....

Решение:

Ищем решение в виде разложения в степенной ряд функции...:

Найдем три первых, отличных от нуля члена степенного ряда:

Тогда три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд, будут иметь вид:

Контрольная работа 4, таблица 2.

Задача 18. В питомнике из 10 обезьян 2 имеют отрицательный резус - фактор. Какова вероятность того, что из 4 наудачу выбранных обезьян 1 имеет отрицательный резус - фактор?

Решение:

Задача имеет опечатку, не указано выбранное количество обезьян. Возьмем 4 обезьяны.

Для расчета вероятности будем использовать формулу классической вероятности. Общее количество равновозможных исходов равно количеству способов выбора 4 обезьяны из 9, т.е..... Количество благоприятных исходов равно.... Тогда по формуле классической вероятности получим:

Задача 38. Два автомата производят детали которые поступают на общий конвейер. Вероятность изготовления стандартной детали на первом автомате..., а на втором.... Производительность второго автомата в... раза больше. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь стандартная. Какова вероятность, что она изготовлена первым автоматом.

Решение:

Введем события:

Событие А - наудачу взятая деталь стандартная

Событие Н1 - изготовлена стандартная деталь на первом автомате

Событие Н2 - изготовлена стандартная деталь на втором автомате

Следовательно, используя формулу полной вероятности, получим:

где...

В нашем случае.......

Производительность второго автомата в... раза больше, значит..., где

x - производительность первого автомата. Тогда......

Тогда, вероятность того, что наудачу взятая деталь стандартная:

Используя формулу Байеса, найдем вероятность того, что деталь изготовлена

первым автоматом:

Задача 58. Задан закон распределения дискретной случайной величины X. Найти:

1. Значение параметра a.

2. Математическое ожидание M(X).

3. Дисперсию D(X).

4. Построить многоугольник распределения.

Решение:

Закон распределения:

55 57 58 60 61

a 0,1 0,6 0,1 0,1

1. Значение параметра a:

Проверка:...

2. Математическое ожидание...

тогда...

3. Дисперсия...

Вычислим..., тогда...

5. Построим многоугольник распределения:

Задача 78. случайная величина X задана функцией распределения. Требуется:

1. Найти функцию плотности вероятности...

2. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X

3. Построить график функции... и...

Решение:

Случайная величина X задана функцией распределения:

Требуется:

Найдём функцию плотности вероятности...

Найдём математическое ожидание и дисперсию случайной величины X:

или...

тогда....

Построим график функции... и...:

Задача 98. Предположим, что рост людей, проживающих в данной местности, есть случайная величина X, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием a и средним квадратическим отклонением....

Определить:

а) вероятность того, что наудачу выбранный человек имеет рост от... до... см.

б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения X-a окажется меньше...

в) по правилу трех сигм найти наименьшую и наибольшую границы предполагаемого роста человека.

Решение:...

а) Вероятность того, что наудачу взятое выбранный человек имеет рост от... до... см, определим: воспользовавшись формулой:...

где... - функция Лапласа, значение которой находится из таблицы.

В данном случае...

б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения... окажется меньше..., определим: воспользовавшись формулой:....

В данном случае....

в) по правилу трех сигм найдем наименьшую и наибольшую границы предполагаемого веса яйца, воспользовавшись формулой:...

тогда....

Наибольшая граница: 175 - 27 = 148.

Наименьшая граница: 175 + 27 = 202.

Данные границы определяются с вероятностью:....