Контрольная работа 7: задание 2, 32, 62, 72 Контрольная работа 8: задания 2, 22, 42

  • ID: 40548 
  • 4 страницы

Фрагмент работы:

Контрольная работа 7

Задание 2. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка (уравнения с разделяющимися переменными, однородные и линейные).

Задано дифференциальное уравнение [image].

Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

Перепишем уравнение в виде:

[image].

Интегрируем обе части равенства: [image].

Общее решение: [image].

Задание 32. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка (уравнения с разделяющимися переменными, однородные и линейные).

Задано дифференциальное уравнение [image].

Перепишем уравнение виде: [image].

Интегрируя обе части равенства, получим: [image]где, [image].

Решение [image] - не является решением дифференциального уравнения.

Общее решение примет вид: [image].

Задание 62. Найти общее решение [image] при начальных условиях [image].

Решаем однородное уравнение: [image]. Составим характеристическое уравнение

[image], [image] - корень кратности 2. Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид: [image].

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: [image], [image], [image]

Подставляем и получим: [image], откуда [image].

Тогда [image].

Общее решение: [image] и [image].

Ищем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям [image]:

[image], [image]

Находим, что [image], [image].

Окончательно, получим: [image].

Общее решение: [image].

Частное решение: [image].

Задание 72. Найти общее решение [image] при начальных условиях [image].

Решаем однородное уравнение: [image]. Составим характеристическое уравнение

[image], [image], [image]. Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид: [image].

Так как [image] - корень кратности 1, то частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: [image], [image], [image].

Подставляем и получим: [image], откуда [image], [image].

Тогда [image].

Общее решение: [image] и [image].

Ищем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям [image]:

[image], [image].