Контрольная работа 7: задание 2, 32, 62, 72 Контрольная работа 8: задания 2, 22, 42

  • ID: 40548 
  • 4 страницы

Фрагмент работы:

Контрольная работа 7

Задание 2. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка (уравнения с разделяющимися переменными, однородные и линейные).

Задано дифференциальное уравнение....

Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

Перепишем уравнение в виде:

Интегрируем обе части равенства:....

Общее решение:....

Задание 32. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка (уравнения с разделяющимися переменными, однородные и линейные).

Задано дифференциальное уравнение....

Перепишем уравнение виде:....

Интегрируя обе части равенства, получим:...где....

Решение... - не является решением дифференциального уравнения.

Общее решение примет вид:....

Задание 62. Найти общее решение... при начальных условиях....

Решаем однородное уравнение:.... Составим характеристическое уравнение

- корень кратности 2. Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:....

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:.........

Подставляем и получим:..., откуда....

Тогда....

Общее решение:... и....

Ищем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям...:

Находим, что.......

Окончательно, получим:....

Общее решение:....

Частное решение:....

Задание 72. Найти общее решение... при начальных условиях....

Решаем однородное уравнение:.... Составим характеристическое уравнение

Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:....

Так как... - корень кратности 1, то частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:..........

Подставляем и получим:..., откуда.......

Тогда....

Общее решение:... и....

Ищем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям...:

Находим, что.......

Окончательно, получим:....

Общее решение:....

Частное решение:....

Контрольная работа 8

Задание 2. Исследовать сходимость числовых рядов.

Решение:

Задан числовой ряд:....

Воспользуемся признаком Даламбера:

Поэтому по признаку Даламбера ряд сходится, а значит будет сходится и исходный ряд.

Задание 22. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость.

Решение:

Задан числовой ряд:....

Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Проверим необходимый признак сходимости ряда:

Рассмотрим сходящийся ряд....

Т.к....И ряд с общим членом cn сходится, то по второму признаку сравнения также сходится и исходный ряд.

Таким образом, ряд сходится абсолютно.

Задание 42. Найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на границах интервала.

Решение:

Задан степенной ряд:....

Установим границы абсолютной сходимости ряда, используя признак Даламбера:

Общий член ряда......, тогда

Так как....

Исследуем, поведение ряда в крайних точках:

Если..., то... - ряд знакочередующийся.

Ряд расходится.

Если..., то.... Ряд расходится как ряд Дирихле с показателем....

Окончательно, получим:....