Контрольная работа 5: вариант 7

  • ID: 40436 
  • 10 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа №5

Вариант 7

№ 507. Вычислить криволинейный интеграл первого рода по кривой на плоскости.

[image], от точки A(-1/2,-1/4) до B(1/2,-3/4).

Решение:

Кривая задана графиком функции (прямая) [image], причем [image].

Тогда

[image].

В декартовой системе координат криволинейный интеграл первого рода по кривой на плоскости определяется по формуле: [image], где [image].

Тогда [image]

[image].

№ 517. Вычислить криволинейный интеграл первого рода по пространственной кривой.

[image], [image]: [image].

Решение:

Вычислим производные:

[image]

Для пространственной кривой вычислим по формуле элемент [image]: [image]. Параметр [image] изменяется в пределах: [image].

Тогда [image].

№ 527. Вычислить криволинейный интеграл второго рода по кривой на плоскости [image], вдоль кривой линии [image], соединяющей точки [image],[image].

Решение:

Задана кривая [image], причем [image].

Тогда [image].

№537. Вычислить криволинейный интеграл второго рода вдоль кривой, заданной

параметрически [image], L: [image].

Решение:

В нашем случае [image], причем [image].

[image]

[image]

[image][image]

[image].

№547. Вычислить интеграл, применив формулу Грина [image], направление обхода - положительное.

Решение:

Рассматриваемая область – окружность с центром в точке [image] и радиусом r = 2.

Введем обозначение: [image].

Вычислим: [image].

Тогда:

[image]

[image].

Ответ: [image].

№557. Вычислить поверхностный интеграл первого рода по заданной поверхности. [image], S – часть поверхности [image], отсеченная плоскостью [image].

Решение:

Проекцией S на плоскость XOY будет круг [image].

Элемент [image].

Вычислим интеграл по формуле: [image].

Перейдем к полярным координатам:

[image]

В итоге получим: [image], [image]. Тогда исходный интеграл запишется как: [image].