Контрольная работа 5: вариант 7

  • ID: 40436 
  • 10 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа №5

Вариант 7

№ 507. Вычислить криволинейный интеграл первого рода по кривой на плоскости.

от точки A(-1/2,-1/4) до B(1/2,-3/4).

Решение:

Кривая задана графиком функции (прямая)..., причем....

Тогда

В декартовой системе координат криволинейный интеграл первого рода по кривой на плоскости определяется по формуле:..., где....

Тогда...

№ 517. Вычислить криволинейный интеграл первого рода по пространственной кривой.

:....

Решение:

Вычислим производные:

Для пространственной кривой вычислим по формуле элемент...:.... Параметр... изменяется в пределах:....

Тогда....

№ 527. Вычислить криволинейный интеграл второго рода по кривой на плоскости..., вдоль кривой линии..., соединяющей точки.......

Решение:

Задана кривая..., причем....

Тогда....

№537. Вычислить криволинейный интеграл второго рода вдоль кривой, заданной

параметрически..., L:....

Решение:

В нашем случае..., причем....

№547. Вычислить интеграл, применив формулу Грина..., направление обхода - положительное.

Решение:

Рассматриваемая область - окружность с центром в точке... и радиусом r = 2.

Введем обозначение:....

Вычислим:....

Тогда:

Ответ:....

№557. Вычислить поверхностный интеграл первого рода по заданной поверхности...., S - часть поверхности..., отсеченная плоскостью....

Решение:

Проекцией S на плоскость XOY будет круг....

Элемент....

Вычислим интеграл по формуле:....

Перейдем к полярным координатам:

В итоге получим:....... Тогда исходный интеграл запишется как:....

№567. Вычислить поверхность интеграла второго рода по заданной ориентированной поверхности..., S - внутренняя сторона полусферы....

Решение:

Перейдем к поверхностному интегралу первого рода.

Задана поверхность.... Значит, вектор... будет нормалью к S, и направлен к началу координат. Значит... будет единичным вектором нормали, определяющим внутреннюю сторону сферы.

Получим:....

Тогда....

№577. Найти... для произвольного скалярного поля....

Решение:

По определению....

№587. Использую формулу Гаусса-Остроградского, найти поток векторного поля...через внешнюю поверхность тела..., заданного неравенствами..., где....

Решение:

По теореме Гаусса - Остроградского поток векторного поля через замкнутую поверхность равен:

№597. Используя формулу Стокса, вычислить модуль циркуляции векторного поля...вдоль контура треугольника с вершинами в точках....

Решение:

Составим уравнение плоскости, проходящее через точки...:

Окончательно получим:....

Вектор нормали....

Проекцией S на плоскость XOY будет область....

Применяя формулу Стокса, получим:

Ответ:....

Контрольная работа №6

№ 607. Найти общее решение дифференциального уравнения....

Решение:

Данное уравнение является линейным относительно переменной y. Тогда решение уравнения будет искать в виде....

Получим после подстановки:.... (1)

Пусть..., тогда....

Интегрируя обе части равенства, получим:

Подставляя в (1), получим:....

Тогда

Тогда...

Общее решение примет вид:....

№ 617. Найти общее решение дифференциального уравнения....

Решение:

Уравнение не содержит явно..., поэтому сделаем замену......, тогда

уравнение примет вид:...- уравнение с разделяющимися переменными.

Так как..., то....

Общее решение примет вид:....

№ 627. Найти общее решение... при начальных условиях

Решаем однородное уравнение:.... Составим характеристическое уравнение

Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:....

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:..........

Подставляем и получим:..., откуда....

Тогда....

Общее решение:... и....

Ищем решение, удовлетворяющее начальным условиям...:

Находим, что.......

Окончательно, получим:....

№ 637. Найти общее решение... системы дифференциальных уравнений.

Дифференцируем первое уравнение и подставляем в первое:..., так как....

Получим.... Составим характеристическое уравнение

Тогда.... Соответственно...

Общее решение примет вид:...

№ 647. Исследовать сходимость числового ряда....

Решение:

Все члены этого ряда положительны и монотонно убывающие, поэтому к нему можно применить интегральный признак сходимости рядов:

Интеграл расходится, значит расходится исходный ряд.

№ 657. Найти интервал сходимости степенного ряда.......

Решение:

Ищем радиус сходимости ряда, используя формулу Даламбера:..., в нашем случае....

Тогда....

При... - ряд сходится. Вычислим поведение ряда на концах интервала:

При...:...- расходится как ряд Дирихле с показателем....

Ряд расходится в точке....

При...:... - ряд знакочередующийся. Так как... и..., значит по теореме Лейбница ряд сходится в точке....

Ряд сходится при....

№ 667. Вычислить приближенно определённый интеграл, используя разложение в степенной ряд. Результат получить с точностью до 0,001.

Решение:

Задан определенный интеграл:....

Вычислить приближенно определённый интеграл, используя разложение в степенной ряд, а затем проинтегрируем каждый член разложения.

Воспользуемся разложением:...

Тогда:...

Вычислим определенный интеграл:

№ 677. Найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения... дифференциального уравнения..., удовлетворяющего начальному условию....

Решение:

Ищем решение в виде разложения в степенной ряд функции...:

Найдем три первых, отличных от нуля члена степенного ряда:

Тогда три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд, будут иметь вид:

Ответ:...

№ 687. Разложить данную функцию... в ряд Фурье в интервале....

Решение:

Ряд Фурье для интервала... имеет вид:..., где

В нашем случае интервале... и.......

Вычислим:

Ответ:....