Вариант 01. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка

  • ID: 40114 
  • 10 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа 7

Задание 1. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка (уравнения с разделяющимися переменными, однородные и линейные).

Задано дифференциальное уравнение....(В ЗАДАНИИ ОПИСКА!!!)

Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

Интегрируем обе части равенства:...

Общее решение:....

Задание 11. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка (уравнения с разделяющимися переменными, однородные и линейные).

Задано дифференциальное уравнение....

Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

Интегрируем обе части равенства:...

В итоге, получим:....

Общее решение:....

Задание 21. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка (уравнения с разделяющимися переменными, однородные и линейные).

Задано дифференциальное уравнение....

Перепишем уравнение в виде:....

Интегрируем обе части равенства:

Общее решение примет вид:....

Задание 31. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка (уравнения с разделяющимися переменными, однородные и линейные).

Задано дифференциальное уравнение....

Перепишем уравнение в виде:....

Интегрируем обе части равенства:

Общее решение примет вид:....

Задание 41. Найти общее решение дифференциальных уравнений второго и высших порядков (уравнения, допускающие понижение порядка).

Решение:

Задано уравнение...

Так как дифференциальное уравнение явно не зависит от переменной..., поэтому сделаем замену......, тогда уравнение примет вид:... - уравнение линейно относительно переменной z.

Ищем решение в виде:....

Тогда после замены уравнение примет вид:....

Перепишем уравнение в виде:....

Пусть....

Интегрируем обе части равенства:....

Тогда исходное уравнение после подстановки примет вид:

Общее решение:....

Значит, используя замену..., получим:....

Интегрируя обе части равенства, получим:

Общее решение примет вид:....

Задание 51. Найти общее решение дифференциальных уравнений второго и высших порядков (уравнения, допускающие понижение порядка).

Решение:

Задано уравнение....

Так как дифференциальное уравнение явно не зависит от переменной..., поэтому сделаем замену......, тогда уравнение примет вид:....

Преобразуем полученное уравнение:... - уравнение с разделяющимися переменными. Перепишем уравнение в виде:....

Интегрируем обе части равенства:....

Воспользуемся формулой:....

Преобразуя, получим:....

Значит, используя замену, получим:...

Общее решение примет вид:....

Задание 61. Найти общее решение... при начальных условиях....

Решение:

Решаем однородное уравнение:.... Составим характеристическое уравнение

Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:....

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:.........

Подставляем и получим:..., откуда получим:....

Тогда....

Общее решение:... и....

Ищем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям...:

Окончательно, получим:....

Общее решение:....

Частное решение:....

Задание 71. Найти общее решение... при начальных условиях....

Решение:

Решаем однородное уравнение:.... Составим характеристическое уравнение

- корень кратности 2.

Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:....

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:..........

Подставляем и получим:..., откуда....

Тогда....

Общее решение:... и....

Ищем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям...:

Находим, что.......

Окончательно, получим:....

Общее решение:....

Частное решение:....

Контрольная работа 8

Задание 1. Исследовать сходимость числовых рядов.

Решение:

Задан числовой ряд:....

Воспользуемся признаком Даламбера:

По признаку Даламбера ряд расходится.

Задание 11. Исследовать сходимость числовых рядов.

Решение:

Задан числовой ряд:....

Воспользуемся признаком Даламбера:

По признаку Даламбера ряд сходится.

Задание 21. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость.

Решение:

Задан числовой ряд:....

Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Рассмотрим ряд....

Проверим необходимый признак сходимости абсолютного ряда:

Пусть....

Т.к.....

и ряд с общим членом cn расходится (гармонический ряд), то по второму признаку сравнения также расходится и исходный ряд.

Т.к. расходится ряд с общим членом..., то знакопеременный ряд также расходится абсолютно.

Задание 31. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость.

Решение:

Задан числовой ряд:....

Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Рассмотрим ряд....

Воспользуемся признаком Даламбера:

Поэтому по признаку Даламбера ряд из членов... сходится абсолютно, а значит будет сходится абсолютно и исходный ряд.

Задание 41. Найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на границах интервала.

Решение:

Коэффициенты степенного ряда равны:....

Установим границы абсолютной сходимости ряда, используя признак Даламбера:

Общий член ряда......, тогда

Чтобы ряд сходился, должно выполняться условие:

==>....

Исследуем сходимость ряда на границах интервала

При x=-7 получим ряд

так как... и ряд монотонно убывающий, то ряд сходится по признаку Лейбница.

При x=11 получим ряд

- расходится как гармонический ряд.

Окончательно получим, что ряд сходится....

Задание 51. Найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на границах интервала.

Решение:

Задан степенной ряд:....

Сделаем замену переменной: y=x3, тогда ряд примет вид:

Определим радиус сходимости ряда:

Т.е. yI(-8;8). Перейдем к старым переменным

-8