Контрольная работа 5, 6: шифр 07

  • ID: 40096 
  • 11 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа 5, 6: шифр 07

Контрольная работа №5 (Интегральное исчисление)

В заданиях этой контрольной параметры n = 7(последняя цифра), m = 10(предпоследняя цифра) индивидуального шифра.

Задание 1. Определить первообразную для функции:

Подставляя исходные данные, получим функцию:

Для определения первообразной, вычислим неопределенный интеграл:

В итоге, получим:

Задание 2. Найти неопределенный интеграл:

Задание 3. Вычислить неопределенный интеграл

Задание 4. Вычислить несобственный интеграл... или определить его расходимость.

Решение:

Интеграл сходится, так как является ограниченным.

Задание 5. Определить величину несобственного интеграла... либо установить его расходимость.

Решение:

В нашем случае, интеграл ограничен. Значит, интеграл сходится.

Задание 6. Вычислить площадь фигуры в декартовой плоскости ограниченной графиками параболических функций....

Решение:

Выполним чертеж:

Определим точки пересечения кривых:

преобразуя, получим:....

Тогда площадь фигуры определим по формуле:

Задача 7. Определить объем тела, образованного вращением фигуры декартовой плоскости, ограниченной линией с уравнением... и прямыми....

Решение:

Подставим исходные данные и выполним чертеж:....

Точки пересечения кривых найдем из решения равенства:....

В результате вращения декартовой плоскости, объем полученного тела вращения определим по формуле:

Контрольная работа №6

В задачах №1-4:

а) указать класс дифференциального уравнения;

б) найти его общее решение;

в) сделать проверку;

г) в задаче №1 найти частное решение, соответствующее начальному условию...; в задаче №3 условию....

1)....

2)....

3)....

4)....

Решение:

1)....

Данный тип дифференциального уравнения является линейным с разделяющимися переменными. Получим:

Преобразуя, получим:

Общее решение примет вид:....

Частное решение:....

Проверка:

Подставим в исходное уравнение, получим:

Значит, общее решение дифференциального уравнения найдено, верно.

2)...

Данный тип дифференциального уравнения является однородным. Преобразуем:

Сделаем замену:

Преобразуем уравнение:

примет вид:

Возвращаясь к переменным..., получим:

Общее решение:....

3)....

Данное уравнение является линейным относительно переменной.... Тогда решение уравнения будем искать в виде....

После подстановки, получим:....

Пусть..., тогда.... Интегрируя обе части равенства, получим:

Поставляя в исходное уравнение, получим:

Тогда общее решение примет вид:....

Частное решение:

Проверка:

Общее решение найдено, верно.

4)....

Данное уравнение является уравнением Бернулли.

Преобразуем уравнение:

Подставим, получим уравнение с разделяющимися переменными:

Возвращаясь к исходным переменным, получим:

Проверка:

Общее решение найдено, верно.

В задачах №5-7:

а) записать характеристическое уравнение и общее решение однородного уравнения...;

б) по виду правой части... записать частное решение с неопределенными коэффициентами (не находить);

в) по виду правой части... найти частное решение и сделать проверку;

г) выписать общее решение неоднородного дифференциального уравнения для правой части....

5)....

Подставив исходные данные, получим уравнение:

Рассмотрим однородное уравнение с постоянными коэффициентами:

а) Характеристическое уравнение примет вид:

Общее решение однородного уравнения примет вид:

б) правая часть уравнения имеет вид:....

Корень... кратности 1. Тогда частное решение примет вид:

в) правая часть уравнения имеет вид:....

Тогда частное решение примет вид:....

Вычислим:....

Подставим в исходное уравнение и получим:

Решая методом неопределенных коэффициентов, получим систему:

В итоге получим частное решение однородного уравнения с правой частью...:....

Проверка:

Для проверки правильности найденного решения, подставим частное решение в исходное уравнение:

Решение найдено, верно.

г) Общее решение неоднородного дифференциального уравнения для правой части... примет вид:

6)...

Подставив исходные данные, получим уравнение:

Рассмотрим однородное уравнение с постоянными коэффициентами:

а) Характеристическое уравнение примет вид:

Общее решение однородного уравнения примет вид:

б) правая часть уравнения имеет вид:....

Корень... кратности 2. Тогда частное решение примет вид:

в) правая часть уравнения имеет вид:....

Тогда частное решение примет вид:....

Вычислим:....

Подставим в исходное уравнение и получим:

В итоге получим частное решение однородного уравнения с правой частью...:....

Проверка:

Для проверки правильности найденного решения, подставим частное решение в исходное уравнение:

Решение найдено, верно.

г) Общее решение неоднородного дифференциального уравнения для правой части... примет вид:

7)....

Подставив исходные данные, получим уравнение:

Рассмотрим однородное уравнение с постоянными коэффициентами:

а) Характеристическое уравнение примет вид:

Так как корни характеристического уравнения являются комплексными, то общее решение однородного уравнения примет вид:

б) правая часть уравнения имеет вид:....

Число... не является корнем характеристического уравнения. Тогда частное решение примет вид:

в) правая часть уравнения имеет вид:....

Тогда частное решение примет вид:....

Вычислим:....

Подставим в исходное уравнение и получим:

Решая методом неопределенных коэффициентов, получим систему:

В итоге получим частное решение однородного уравнения с правой частью...:....

Проверка:

Для проверки правильности найденного решения, подставим частное решение в исходное уравнение:

Решение найдено, верно.

г) Общее решение неоднородного дифференциального уравнения для правой части... примет вид:

Задание 8. Найти общее решение однородной системы дифференциальных уравнений:

Решение:

Дифференцируем второе уравнение и подставляем в него первое:..., но..., тогда.... Так как.... Окончательно получим:....

Получим однородное уравнение с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение:....... Тогда.... Соответственно....

Общее решение примет вид:....