Контрольная работа 5: вариант 4

  • ID: 39897 
  • 3 страницы

Фрагмент работы:

Контрольная работа №5

Вариант 4

Задание 1. Дана функция [image] и точка [image].

Найти: градиент данной функции в точке A;

производную данной функции в точке A по направлению вектора [image].

Решение:

а)Найдем частные производные:

[image], [image].

Вычислим значения [image], [image] в точке [image]:

[image], [image].

Вектор-градиент равен: [image].

Величина скорости наибольшего роста функции:

[image].

б)Найдем направляющие косинусы вектора [image]:

[image], [image], [image].

Подставим все найденные значения в формулу для производной по направлению:

[image]

Ответ: [image], [image].

Задание 2. Вычислить объем тела ограниченного кривыми [image].

Решение:

[image]- уравнение цилиндрической поверхности.

[image]- цилиндрическая поверхность, с образующей параллельной оси Ох.

Выполним чертеж:

[image]

[image][image]

[image].

Объем тела равен: [image].

Задание 3. Даны векторное поле [image] и плоскость [image], которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду [image]. Пусть [image] - основание пирамиды, принадлежащее плоскости [image]; [image] - контур, ограничивающий [image]; [image] - нормаль к [image], направленная вне пирамиды [image]. Требуется вычислить:

циркуляцию векторного поля [image] по замкнутому контуру [image] по формуле Стокса;

поток векторного поля [image] через полную поверхность пирамиды [image] в направлении внешней нормали к ее поверхности, применив теорему Остроградского – Гаусса.

Решение:

Выполним чертеж:

[image]

Формула Стокса: [image][image][image]Циркуляция векторного потока [image].

2) По теореме Гаусса – Остроградского поток векторного поля через замкнутую поверхность равен:

[image]

[image]

[image]

[image].

Поток векторного поля через замкнутую поверхность [image].