Вариант 04. Дана функция и точка. Найти градиент данной функции в точке A; производную данной функции в точке A

  • ID: 39884 
  • 4 страницы

Фрагмент работы:

Вариант 4

Задание 1. Дана функция... и точка....

Найти: а) градиент данной функции в точке A;

б) производную данной функции в точке A по направлению вектора....

Решение:

а) Найдем частные производные:

Вычислим значения...... в точке...:

Вектор-градиент равен:....

Величина скорости наибольшего роста функции:

б) Найдем направляющие косинусы вектора...:

Подставим все найденные значения в формулу для производной по направлению:

Ответ:.......

Задание 2. Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнение в декартовых координатах (а > 0)

Решение:

Задана кривая вида:...

Построим график функции для...:

Воспользуемся формулой для вычисления площади ограниченной кривыми:

Перейдем к полярным координатам:

В итоге получим:

Получим:

Графиком функции является эллипс.....

Тогда.

Ответ:....

Задание 3. Вычислить объем тела ограниченного кривыми....

Решение:

- уравнение цилиндрической поверхности.

- цилиндрическая поверхность, с образующей параллельной оси Ох.

Выполним чертеж:

Объем тела равен:....

Задание 4. Даны векторное поле... и плоскость..., которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду.... Пусть... - основание пирамиды, принадлежащее плоскости...;... - контур, ограничивающий...;... - нормаль к..., направленная вне пирамиды.... Требуется вычислить:

1) циркуляцию векторного поля... по замкнутому контуру... по формуле Стокса;

2) поток векторного поля... через полную поверхность пирамиды... в направлении внешней нормали к ее поверхности, применив теорему Остроградского - Гаусса.

Решение:

Выполним чертеж:

1) Формула Стокса:.........Циркуляция векторного потока....

2) По теореме Гаусса - Остроградского поток векторного поля через замкнутую поверхность равен:

Поток векторного поля через замкнутую поверхность....