Вариант 04. Дана функция и точка. Найти градиент данной функции в точке A; производную данной функции в точке A

  • ID: 39884 
  • 4 страницы

Фрагмент работы:

Вариант 4

Задание 1. Дана функция [image] и точка [image].

Найти: градиент данной функции в точке A;

производную данной функции в точке A по направлению вектора [image].

Решение:

а)Найдем частные производные:

[image], [image].

Вычислим значения [image], [image] в точке [image]:

[image], [image].

Вектор-градиент равен: [image].

Величина скорости наибольшего роста функции:

[image].

б)Найдем направляющие косинусы вектора [image]:

[image], [image], [image].

Подставим все найденные значения в формулу для производной по направлению:

[image]

Ответ: [image], [image].

Задание 2. Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнение в декартовых координатах (а > 0)

Решение:

Задана кривая вида: [image]

Построим график функции для [image]:

[image]

Воспользуемся формулой для вычисления площади ограниченной кривыми:

[image].

Перейдем к полярным координатам:

[image]

В итоге получим:

[image].

Получим:

[image][image]. Графиком функции является эллипс. [image].

Тогда.

[image]

[image]

[image].

Ответ: [image].

Задание 3. Вычислить объем тела ограниченного кривыми [image].

Решение:

[image]- уравнение цилиндрической поверхности.

[image]- цилиндрическая поверхность, с образующей параллельной оси Ох.

Выполним чертеж:

[image]

[image][image]

[image].

Объем тела равен: [image].

Задание 4. Даны векторное поле [image] и плоскость [image], которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду [image]. Пусть [image] - основание пирамиды, принадлежащее плоскости [image]; [image] - контур, ограничивающий [image]; [image] - нормаль к [image], направленная вне пирамиды [image]. Требуется вычислить:

циркуляцию векторного поля [image] по замкнутому контуру [image] по формуле Стокса;