Вариант 6. Дана функция и точка. Найти градиент данной функции в точке A, производную данной функции в точке A

  • ID: 39638 
  • 5 страниц

Фрагмент работы:

Задание 1. Дана функция [image] и точка [image].

Найти: а) градиент данной функции в точке A;

б) производную данной функции в точке A по направлению вектора [image].

Решение:

) Вычислим частные производные, используя формулу [image]:

[image], [image].

Вычислим значения [image], [image] в точке [image]:

[image], [image].

Вектор-градиент равен: [image].

б)Найдем направляющие косинусы вектора [image]:

[image], [image], [image].

Подставим все найденные значения в формулу для производной по направлению:

[image] Ответ:[image]; [image].

Задание 2. Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнение в декартовых координатах (а > 0)

Решение:

Задана кривая вида: [image]

Построим график функции для [image]:

[image]

Воспользуемся формулой для вычисления площади ограниченной кривыми:

[image].

Перейдем к полярным координатам:

[image]

В итоге получим:

[image].

Получим:

[image][image], так как [image].

В силу симметрии графика, достаточно вычислить площадь [image]. Тогда [image].

[image]

[image].

Вычислим неопределенный интеграл:

[image][image][image]

Тогда

[image]

Окончательно получим:

[image]

Ответ: [image].

Задание 3. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертеж данного тела и его проекции на плоскость xOy.

[image]

Выполним чертеж:

[image]

[image]

[image].

Задание 4. Исследовать на сходимость числовой ряд [image].

Решение:

Все члены этого ряда положительны и монотонно убывающие, поэтому к нему можно применить интегральный признак сходимости рядов:

[image].

Интеграл расходится, значит расходится исходный ряд.

Задание 7. Разложить в ряд Фурье функцию [image] в интервале [image].

Решение:

Ряд Фурье для интервала [image] имеет вид: [image], где

[image], [image].