Вариант 6. Дана функция и точка. Найти градиент данной функции в точке A, производную данной функции в точке A

  • ID: 39638 
  • 5 страниц

Фрагмент работы:

Вариант 6. Дана функция и точка. Найти градиент данной функции в т…

Задание 1. Дана функция... и точка....

Найти: а) градиент данной функции в точке A;

б) производную данной функции в точке A по направлению вектора....

Решение:

а) Вычислим частные производные, используя формулу...:

Вычислим значения...... в точке...:

Вектор-градиент равен:....

б) Найдем направляющие косинусы вектора...:

Подставим все найденные значения в формулу для производной по направлению:

Ответ:...;....

Задание 2. Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнение в декартовых координатах (а > 0)

Решение:

Задана кривая вида:...

Построим график функции для...:

Воспользуемся формулой для вычисления площади ограниченной кривыми:

Перейдем к полярным координатам:

В итоге получим:

Получим:

так как....

В силу симметрии графика, достаточно вычислить площадь.... Тогда....

Вычислим неопределенный интеграл:

Тогда

Окончательно получим:

Ответ:....

Задание 3. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертеж данного тела и его проекции на плоскость xOy.

Выполним чертеж:

Задание 4. Исследовать на сходимость числовой ряд....

Решение:

Все члены этого ряда положительны и монотонно убывающие, поэтому к нему можно применить интегральный признак сходимости рядов:

Интеграл расходится, значит расходится исходный ряд.

Задание 7. Разложить в ряд Фурье функцию... в интервале....

Решение:

Ряд Фурье для интервала... имеет вид:..., где

В нашем случае интервале... и.......

то есть... - не обладает свойствами четной и нечетной функции.

Вычислим:

Вычислим отдельно:

Тогда:...

Вычислим отдельно:

Тогда:...

Ответ:....

Задание 9. Найти общее решение... при начальных условиях

Решаем однородное уравнение:.... Составим характеристическое уравнение

Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:....

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:

Подставляем и получим:...

откуда....

Тогда.... Общее решение:... и....

Ищем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям...:

Находим, что.......

Окончательно, получим:...

Ответ:

Общее решение:....

Частное решение:....