Контрольная работа 7: вариант 10

  • ID: 39061 
  • 8 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа №5

Вариант 10

Задание 1. Дана функция... и точка.......

Найти: а) градиент данной функции в точке М;

б) производную данной функции в точке М по направлению вектора.......

Решение:

а) Найдем частные производные:

Вычислим значения... в точке...:

Вектор-градиент равен:...

Величина скорости наибольшего роста функции:

б) Найдем направляющие косинусы вектора...:

;....

Подставим все найденные значения в формулу для производной по направлению:

Так как..., то функция... в точке... в направлении вектора... возрастает со скоростью....

Ответ:...;....

Задание 2. Вычислить объем тела ограниченного кривыми....

Решение:

- уравнение плоскости.

- цилитрическая поверхность, в сечение парабола....

Выполним чертеж:

Объем тела равен:....

Задание 3. Даны векторное поле... и плоскость..., которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду.... Пусть... - основание пирамиды, принадлежащее плоскости...;... - контур, ограничивающий...;... - нормаль к..., направленная вне пирамиды.... Требуется вычислить:

1) циркуляцию векторного поля... по замкнутому контуру... по формуле Стокса;

2) поток векторного поля... через полную поверхность пирамиды... в направлении внешней нормали к ее поверхности, применив теорему Остроградского - Гаусса.

Решение:

Выполним чертеж:

1) Формула Стокса:...

Циркуляция векторного потока....

2) По теореме Гаусса - Остроградского поток векторного поля через замкнутую поверхность равен:

Поток векторного поля через замкнутую поверхность....

Контрольная работа №6

Вариант 10

Задание 1. Исследовать сходимость числового ряда.......

Решение: Исследуем на сходимость ряд....

Применим интегральный признак:....

Интеграл расходится, следовательно, ряд расходится.

Задание 2. Найти область сходимости ряда....

Решение:

Ищем радиус сходимости ряда, используя формулу Даламбера:..., в нашем случае....

Тогда....

Областью сходимости является вся числовая ось

Задание 3. Разложить в ряд Фурье функцию... в интервале....

Решение:

Ряд Фурье для интервала... имеет вид:..., где

Вычислим:

Ответ:....

Контрольная работа №7

Вариант 10

Задание №1.

Найти все особые точки функции, определить их характер и вычислить вычеты в них:

Решение:

У функции есть 2 особые точки:... и... - полюса первого порядка. Найдем вычет в каждой из них по формуле:

Задание №2.

С помощью вычетов вычислить данный интеграл по контуру:

Решение:

Для вычисления интеграла воспользуемся теоремой Коши о вычетах:

Разложим знаменатель на множители.

Для подынтегральной функции... точки... являются полюсами первого порядка. Внутри окружности... лежат две точки... и.... Найдем вычеты в них по формуле:

Тогда

Задание №3.

Найти общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка.

Решение:

Это уравнение - линейное. Пусть..., тогда.... Далее получим:

Пусть..., тогда....

Тогда...

Задание №4.

Найти операторным методом решение задачи Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка:

Решение:

Перейдем к уравнению в операционной форме:

Имеем систему уравнений для определения коэффициентов А, В и С:

Решением этой системы являются числа: А=..., В=-..., С=-....

Восстанавливаем оригинал по изображению: