Декартова система координат. Направляющие косинусы вектора

  • ID: 38989 
  • 4 страницы

Фрагмент работы:

Декартова система координат. Направляющие косинусы вектора

Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Дистанционное обучение

1 курс "Алгебра и геометрия". Экзамен

БИЛЕТ № 17

1. Декартова система координат. Направляющие косинусы вектора.

Ответ:

Прямоугольная декартовая система координат (ПДСК) состоит из фиксированной точки... (центра системы координат) и трех пересекающихся в ней, взаимно перпендикулярных направленных прямых... (осей системы координат).

Определение:

- Прямая, на которой определено направление, называется осью.

- Отрезок на оси, ограниченный точками А и В, называется направленным, если определено, какая из этих точек считается его началом, какая концом.

- Направление отрезка - направление от его начала к его концу. Обозначается направленный отрезок....

- Величиной АВ направленного отрезка... называется его длина, взятая со знаком " + ", если отрезок и ось одинаково направлены, и со знаком " ? " в противном случае. Таким образом, АВ = ? ВА.

Обычно, направления выбираются так, чтобы прямые образовывали правую тройку векторов. Единичные векторы, задающие направления осям..., обозначаются буквами... и образуют ортонормированный базис.

Вектор... называется радиус-вектором точки.... Координаты вектора... относительно базиса... являются координатами точки..., т.е. если... (...), то... - точка с координатами.... Так как..., то....

Если векторы рассматриваются на плоскости, то ПДСК состоит из двух перпендикулярных осей... с направляющими ортами... (......).

Каждая точка прямой в данной системе координат, определяется одной координатой.... Каждая точка плоскости в данной системе координат определяется двумя координатами.... Каждая точка пространства в данной системе координат определяется тремя координатами....

Если заданы углы, образуемые вектором... с координатными осями Ox, Oy, Oz, то косинусы данных углов, определяются по формулам и называются направляющими косинусами вектора...:

Для направляющих косинусов вектора имеет место формула:

то есть сумма квадратов углов, образуемых с тремя взаимно перпендикулярными осями, равна единице.

2. Гипербола и её свойства.

Ответ:

- каноническое уравнение гиперболы

- действительная полуось

- мнимая полуось

- левый и правый фокусы

- эксцентриситет

- левая и правая директриса

- левый и правый фокальные радиусы точки...

- расстояния от точки... до левой и правой директрисы.

3. Доказать, что векторы...

образуют базис и найти координаты вектора... в этом базисе.

Решение:

Вычислим определитель матрицы, построенной на векторах...:

1 2 -2

=...

3 1 4

Определитель отличен от нуля. Значит, вектора... образуют базис.

Разложим вектор...:....

Воспользуемся метод Гаусса:

1 2 -2 2 1 2 -2 2

2 1 -1 1 ? 0 3 -3 3 ?

3 1 4 -1 0 5 -10 7

1 2 -2 2 1 2 -2 2

? 0 3 -3 3 ? 0 3 -3 3

0 5 -10 7 0 0 15 -6

Ответ:.......

4. Найти обратную матрицу для матрицы....

Решение:

Найдем определитель матрицы A

3 2 2

=...

5 3 4

Найдем алгебраические дополнения:

=...

3 4 3 4 3 1

=...

5 4 5 4 1 1

=...

5 3 5 3 1 3

Проверка:

5. Найти координаты фокусов эллипса, если его малая полуось равна 5, а эксцентриситет равен 12/13.

Решение:

- каноническое уравнение эллипса... - большая полуось

- малая полуось

- левый и правый фокусы

- эксцентриситет.

Тогда....

Получим:....