Вариант 11. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса Пусть дана неособенная матрица Необходимо найти её обратную

Фрагмент работы:

Вычисление обратной матрицы методом Гаусса

Пусть дана неособенная матрица

…

Необходимо найти её обратную матрицу

…

Вспомним основное соотношение линейной алгебры:

…

где Е - единичная матрица.

Перемножая матрицы... и..., получаем... уравнений относительно... неизвестных...:

…

где...

Таким образом, получим n систем линейных уравнений для..., имеющих одну и ту же матрицу коэффициентов A и различные столбцы - свободные члены, которые можно одновременно решить методом Гаусса.

Задание

Приведем заданную матрицу к единичной, при этом над единичной матрицей будем проводить те же действия, что и над заданной:

Из второй строки вычтем первую, из третьей строки вычтем первую умноженную на..., а из четвертой строки вычтем первую умноженную на 3:

;...

Из третьей строки вычтем вторую деленную умноженную на -2.5, а из четвертой строки вычтем вторую, умноженную на 3.5

;...

Из четвертой строки вычтем третью умноженную на...:

;...

Теперь производим обратный ход.

Делим четвертую строку на 1.429

К третьей прибавим четвертую умноженную на 3, к первой строке прибавим четвертую умноженную на -2.

Ко второй строке прибавим третью, умноженную на 2/7, к первой строке прибавим третью умноженную на -4/7

Третью строку делим на -3.5, вторую - на -2.

К первой строе прибавляем вторую, умноженную на 1.5

;...

Получили:

Сделав проверку умножением, получаем...

Решение СЛАУ методом Зейделя

Метод Зейделя (иногда называемый методом Гаусса-Зейделя) является модификацией метода простой итерации, заключающейся в том, что при вычислении очередного приближения... его уже полученные компоненты... сразу же используются для вычислений....

В координатной форме записи метод Зейделя имеет вид:

где... - некоторое начальное приближение к решению;

Таким образом...-ая компонента...-го приближения вычисляется по формуле:

Условие окончания итерационного процесса Зейделя при достижении точности... в упрощенной форме имеет вид:

…

Необходимое условие сходимости метода..., где...... - собственные значения матрицы...

Задание

;...

Собственные значения матрицы... (определены при помощи системы MathCAD):

…

Таким образом, заданная матрица не удовлетворяет условию сходимости метода Зейделя.

Поиск максимального по модулю собственного значения матрицы степенным методом

Метод носит итерационный характер и предназначен для приближенного решения частичной проблемы собственных значений нахождения максимального по модулю собственного значения матрицы A вместе с соответствующим собственным вектором.

В практических вычислениях степенной метод сопровождается процедурой евклидовой нормировки последовательных приближений.... Тогда модифицированная схема степенного метода имеет вид:

…

Задание

Найти максимальное по модулю собственное значение матрицы и соответствующее значение собственного вектора степенным методом

…

За начальное приближение возьмем вектор:

…

Первое приближение:

;...;...

…

Второе приближение

;...;...

…

Третье приближение

;...;...

…

И так далее продолжаем выполнять процесс пока не будет достигнута заданная точность, так как эти вычисления достаточно трудоемкие, то не будем приводить здесь всю серию расчетов. В данном Заданиее для достижения точности... требуется 17 итераций.

Ниже приведена реализация данного метода в системе MathCad.

…

Максимальное значение собственного числа получим решив линейное уравнение полученное умножением третьей строки матрицы A на собственный вектор:

…

или

…

Произведем поиск собственных значений аналитическим способом

…

Таким образом максимальное собственное значение будет...

Найдем соответствующий ему собственный вектор

…

Решение системы нелинейных уравнений методом Ньютона

Рассмотрим систему n нелинейных уравнений с n неизвестными

или в векторной форме f(x) = 0

здесь....

Основная идея метода Ньютона состоит в выделении из уравнений системы линейных частей, которые являются главными при малых приращениях аргументов. Это позволяет свести исходную задачу к решению последовательности линейных систем.

Пусть известно некоторое приближение x(k) корня x*. Тогда поправку... можно найти, решая систему....

Для определения... разложим векторную функцию...в ряд по.... Сохранив только линейные по... части, получим

Здесь через... обозначена матрица производных....

Если..., то..., где... - матрица, обратная матрице производных.

Таким образом, последовательные приближения корня можно вычислять по формуле

Отсюда видно, что метод Ньютона решения системы состоит в построении итерационной последовательности:

Если..., то в достаточно малой окрестности корня x* итерационный процесс сходится, причём с квадратичной скоростью, т.е. если..., то.... Поэтому в качестве критерия окончания итерационного процесса можно использовать условие.... Если начальное приближение выбрано удачно, то метод Ньютона сходится очень быстро.

Задание

Найти решение системы...

Задача решается в пакете MathCAD.

…

Интерполирование многочленом Ньютона

Зная значение... при...;.... Найти... при... используя многочлен Ньютона.

В развернутой форме многочлен Ньютона имеет вид:

…

Разделенные разности удобно вычислять представив расчеты в виде таблицы:

Тогда интерполяционный многочлен можно в данном случае записать как:

…