Вариант 11. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса Пусть дана неособенная матрица Необходимо найти её обратную

Фрагмент работы:

Вычисление обратной матрицы методом Гаусса

Пусть дана неособенная матрица

[image]

Необходимо найти её обратную матрицу

[image]

Вспомним основное соотношение линейной алгебры:

[image]

где Е – единичная матрица.

Перемножая матрицы [image] и [image], получаем [image] уравнений относительно [image] неизвестных[image]:

[image]

где [image]

Таким образом, получим n систем линейных уравнений для [image], имеющих одну и ту же матрицу коэффициентов A и различные столбцы - свободные члены, которые можно одновременно решить методом Гаусса.

Задание

[image], [image]

Приведем заданную матрицу к единичной, при этом над единичной матрицей будем проводить те же действия, что и над заданной:

Из второй строки вычтем первую, из третьей строки вычтем первую умноженную на [image], а из четвертой строки вычтем первую умноженную на 3:

[image]; [image]

Из третьей строки вычтем вторую деленную умноженную на -2.5, а из четвертой строки вычтем вторую, умноженную на 3.5

[image]; [image]

Из четвертой строки вычтем третью умноженную на [image]:

[image]; [image]

Теперь производим обратный ход.

Делим четвертую строку на 1.429

[image], [image]

К третьей прибавим четвертую умноженную на 3, к первой строке прибавим четвертую умноженную на -2.

[image], [image]

Ко второй строке прибавим третью, умноженную на 2/7, к первой строке прибавим третью умноженную на -4/7

[image], [image]

Третью строку делим на -3.5, вторую – на -2.

[image], [image]

К первой строе прибавляем вторую, умноженную на 1.5

[image]; [image]

Получили:

[image], [image]

Сделав проверку умножением, получаем[image]

Решение СЛАУ методом Зейделя

Метод Зейделя (иногда называемый методом Гаусса-Зейделя) является модификацией метода простой итерации, заключающейся в том, что при вычислении очередного приближения [image] его уже полученные компоненты [image] сразу же используются для вычислений [image].

В координатной форме записи метод Зейделя имеет вид:

[image],

где [image] - некоторое начальное приближение к решению;

Таким образом [image]-ая компонента [image]-го приближения вычисляется по формуле: