Вариант 11. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса Пусть дана неособенная матрица Необходимо найти её обратную
- ID: 38856
- 9 страниц
Фрагмент работы:
Вычисление обратной матрицы методом Гаусса
Пусть дана неособенная матрица
[image]
Необходимо найти её обратную матрицу
[image]
Вспомним основное соотношение линейной алгебры:
[image]
где Е – единичная матрица.
Перемножая матрицы [image] и [image], получаем [image] уравнений относительно [image] неизвестных[image]:
[image]
где [image]
Таким образом, получим n систем линейных уравнений для [image], имеющих одну и ту же матрицу коэффициентов A и различные столбцы - свободные члены, которые можно одновременно решить методом Гаусса.
Задание
[image], [image]
Приведем заданную матрицу к единичной, при этом над единичной матрицей будем проводить те же действия, что и над заданной:
Из второй строки вычтем первую, из третьей строки вычтем первую умноженную на [image], а из четвертой строки вычтем первую умноженную на 3:
[image]; [image]
Из третьей строки вычтем вторую деленную умноженную на -2.5, а из четвертой строки вычтем вторую, умноженную на 3.5
[image]; [image]
Из четвертой строки вычтем третью умноженную на [image]:
[image]; [image]
Теперь производим обратный ход.
Делим четвертую строку на 1.429
[image], [image]
К третьей прибавим четвертую умноженную на 3, к первой строке прибавим четвертую умноженную на -2.
[image], [image]
Ко второй строке прибавим третью, умноженную на 2/7, к первой строке прибавим третью умноженную на -4/7
[image], [image]
Третью строку делим на -3.5, вторую – на -2.
[image], [image]
К первой строе прибавляем вторую, умноженную на 1.5
[image]; [image]
Получили:
[image], [image]
Сделав проверку умножением, получаем[image]
Решение СЛАУ методом Зейделя
Метод Зейделя (иногда называемый методом Гаусса-Зейделя) является модификацией метода простой итерации, заключающейся в том, что при вычислении очередного приближения [image] его уже полученные компоненты [image] сразу же используются для вычислений [image].
В координатной форме записи метод Зейделя имеет вид:
[image],
где [image] - некоторое начальное приближение к решению;
Таким образом [image]-ая компонента [image]-го приближения вычисляется по формуле: