Вариант 1. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса Пусть дана неособенная матрица Необходимо найти её обратную

  • ID: 38839 
  • 10 страниц

Фрагмент работы:

Вычисление обратной матрицы методом Гаусса

Пусть дана неособенная матрица

Необходимо найти её обратную матрицу

Вспомним основное соотношение линейной алгебры:

где Е - единичная матрица.

Перемножая матрицы... и..., получаем... уравнений относительно... неизвестных...:

где...

Таким образом, получим n систем линейных уравнений для..., имеющих одну и ту же матрицу коэффициентов A и различные столбцы - свободные члены, которые можно одновременно решить методом Гаусса.

Пример

Приведем заданную матрицу к единичной, при этом над единичной матрицей будем проводить те же действия, что и над заданной:

Ко второй строке прибавим первую, а из третьей строки вычтем первую:

Из третьей строки вычтем вторую умноженную на 4

Теперь производим обратный ход.

Делим третью строку на -5:

Из второй строки вычтем третью умноженную на 4, а из первой третью умноженную на 3:

Делим вторую строку на 4, а первую на -1:

Получили:

Сделав проверку умножением, получаем...

Решение СЛАУ методом квадратного корня

Метод квадратного корня по своему идейному содержанию близок к LU-методу. Основное отличие в том, что он дает упрощение для симметричных матриц.ID_1

Этот метод основан на разложении матрицы А в произведение

где S-верхняя треугольная матрица с положительными элементами на главной...

Из условия (2) получаются уравнения

Так как матрица А симметричная, не ограничивая общности, можно считать, что в системе (3) выполняется неравенство i?j. Тогда (3) можно переписать в виде

В частности, при i=j получится

(4)

Далее, при i