Вариант 10. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса Пусть дана неособенная матрица Необходимо найти её обратную

  • ID: 38838 
  • 11 страниц

Фрагмент работы:

Вариант 10. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса Пусть дана …

Вычисление обратной матрицы методом Гаусса

Пусть дана неособенная матрица

Необходимо найти её обратную матрицу

Вспомним основное соотношение линейной алгебры:

где Е - единичная матрица.

Перемножая матрицы... и..., получаем... уравнений относительно... неизвестных...:

где...

Таким образом, получим n систем линейных уравнений для..., имеющих одну и ту же матрицу коэффициентов A и различные столбцы - свободные члены, которые можно одновременно решить методом Гаусса.

Задание

Приведем заданную матрицу к единичной, при этом над единичной матрицей будем проводить те же действия, что и над заданной:

Из второй строки вычтем первую умноженную на 2, из третьей строки вычтем первую умноженную на..., а из четвертой строки вычтем первую умноженную на 3:

;...

Из третьей строки вычтем вторую деленную умноженную на 5/3, а из четвертой строки вычтем вторую, умноженную на 7/3

;...

Из четвертой строки вычтем третью умноженную на...:

;...

Теперь производим обратный ход.

Делим четвертую строку на 0.5

К третьей прибавим четвертую умноженную на -2, к первой строке прибавим четвертую умноженную на -2. Ко второй строке прибавим четвертую умноженную на 3. Затем делим третью строку на 4

Ко второй строке прибавим третью, умноженную на 3, к первой строке прибавим третью умноженную на -2, затем третью строку делим на -3.

К первой строе прибавляем вторую, умноженную на -3

;...

Получили:

Сделав проверку умножением, получаем...

Решение СЛАУ методом прогонки

Для решения систем... с трехдиагональной матрицей наиболее часто применяется метод прогонки, являющийся адаптацией метода Гаусса к этому случаю.

Запишем систему уравнений в матричном виде:

Уравнения метода прогонки, в порядке их применения:

1) Прямой ход метода прогонки (вычисление вспомогательных величин):

;...

;...;...

Обратный ход прогонки:

Задание

Решить систему уравнений методом прогонки:

;...

Таким образом, заданная матрица не удовлетворяет условию сходимости метода Зейделя.

Поиск максимального по модулю собственного значения матрицы степенным методом

Метод носит итерационный характер и предназначен для приближенного решения частичной проблемы собственных значений нахождения максимального по модулю собственного значения матрицы A вместе с соответствующим собственным вектором.

В практических вычислениях степенной метод сопровождается процедурой евклидовой нормировки последовательных приближений.... Тогда модифицированная схема степенного метода имеет вид:

Задание

Найти максимальное по модулю собственное значение матрицы и соответствующее значение собственного вектора степенным методом

За начальное приближение возьмем вектор:

Первое приближение:

;...;...

Второе приближение

;...;...

Третье приближение

;...;...

И так далее продолжаем выполнять процесс пока не будет достигнута заданная точность, так как эти вычисления достаточно трудоемкие, то не будем приводить здесь всю серию расчетов. В данном Заданиее для достижения точности... требуется 13 итераций.

Ниже приведена реализация данного метода в системе MathCad.

Максимальное значение собственного числа получим решив линейное уравнение полученное умножением третьей строки матрицы A на собственный вектор:

или

Произведем поиск собственных значений аналитическим способом

Таким образом максимальное собственное значение будет...

Найдем соответствующий ему собственный вектор

Решение системы нелинейных уравнений методом Ньютона

Рассмотрим систему n нелинейных уравнений с n неизвестными

или в векторной форме f(x) = 0

здесь....

Основная идея метода Ньютона состоит в выделении из уравнений системы линейных частей, которые являются главными при малых приращениях аргументов. Это позволяет свести исходную задачу к решению последовательности линейных систем.

Пусть известно некоторое приближение x(k) корня x*. Тогда поправку... можно найти, решая систему....

Для определения... разложим векторную функцию...в ряд по.... Сохранив только линейные по... части, получим

Здесь через... обозначена матрица производных....

Если..., то..., где... - матрица, обратная матрице производных.

Таким образом, последовательные приближения корня можно вычислять по формуле

Отсюда видно, что метод Ньютона решения системы состоит в построении итерационной последовательности:

Если..., то в достаточно малой окрестности корня x* итерационный процесс сходится, причём с квадратичной скоростью, т.е. если..., то.... Поэтому в качестве критерия окончания итерационного процесса можно использовать условие.... Если начальное приближение выбрано удачно, то метод Ньютона сходится очень быстро.

Задание

Найти решение системы...

Задача решается в пакете MathCAD.

Интерполирование многочленом Ньютона

Зная значение... при...;.... Найти... при... используя многочлен Ньютона.

В развернутой форме многочлен Ньютона имеет вид:

Разделенные разности удобно вычислять представив расчеты в виде таблицы:

Тогда интерполяционный многочлен можно в данном случае записать как: