Вариант 10. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса Пусть дана неособенная матрица Необходимо найти её обратную

  • ID: 38838 
  • 11 страниц

Фрагмент работы:

Вычисление обратной матрицы методом Гаусса

Пусть дана неособенная матрица

[image]

Необходимо найти её обратную матрицу

[image]

Вспомним основное соотношение линейной алгебры:

[image]

где Е – единичная матрица.

Перемножая матрицы [image] и [image], получаем [image] уравнений относительно [image] неизвестных[image]:

[image]

где [image]

Таким образом, получим n систем линейных уравнений для [image], имеющих одну и ту же матрицу коэффициентов A и различные столбцы - свободные члены, которые можно одновременно решить методом Гаусса.

Задание

[image], [image]

Приведем заданную матрицу к единичной, при этом над единичной матрицей будем проводить те же действия, что и над заданной:

Из второй строки вычтем первую умноженную на 2, из третьей строки вычтем первую умноженную на [image], а из четвертой строки вычтем первую умноженную на 3:

[image]; [image]

Из третьей строки вычтем вторую деленную умноженную на 5/3, а из четвертой строки вычтем вторую, умноженную на 7/3

[image]; [image]

Из четвертой строки вычтем третью умноженную на [image]:

[image]; [image]

Теперь производим обратный ход.

Делим четвертую строку на 0.5

[image], [image]

К третьей прибавим четвертую умноженную на -2, к первой строке прибавим четвертую умноженную на -2. Ко второй строке прибавим четвертую умноженную на 3. Затем делим третью строку на 4

[image], [image]

Ко второй строке прибавим третью, умноженную на 3, к первой строке прибавим третью умноженную на -2, затем третью строку делим на -3.

[image], [image]

К первой строе прибавляем вторую, умноженную на -3

[image]; [image]

Получили:

[image], [image]

Сделав проверку умножением, получаем[image]

Решение СЛАУ методом прогонки

Для решения систем [image] с трехдиагональной матрицей наиболее часто применяется метод прогонки, являющийся адаптацией метода Гаусса к этому случаю.

Запишем систему уравнений в матричном виде:

[image]

Уравнения метода прогонки, в порядке их применения:

1) Прямой ход метода прогонки (вычисление вспомогательных величин):

[image]; [image]

[image]; [image]; [image]

Обратный ход прогонки: