События: A — хотя бы один из трех проверяемых приборов бракованный, B — все приборы доброкачественные. Что означают события: A И B и AB?

  • ID: 38769 
  • 8 страниц

Фрагмент работы:

События: A — хотя бы один из трех проверяемых приборов бракованны…

1. События: A — хотя бы один из трех проверяемых приборов бракованный, B — все приборы доброкачественные. Что означают события: A  B и AB?

Решение:

Событие A  B означает: хотя бы один из трех проверяемых приборов бракованный или все приборы доброкачественные. В данном случае A  B = U, т.е. достоверному событию.

Событие AB означает: хотя бы один из трех проверяемых приборов бракованный и все приборы доброкачественные. В данном случае AB = V, т.е. невозможному событию.

2. В ящике лежат 3 черных и 3 белых шара. Найти вероятность того, что при последовательном случайном извлечении шаров из ящика сначала вынут все белые шары.

Решение:

Рассмотрим события:

А – первый извлеченный шар оказался белым

В – второй извлеченный шар оказался белым

С – третий извлеченный шар оказался белым

F – три первых извлеченных шара оказались белыми

Тогда

F=ABC

Т.к. события A, B и C зависимы, то P(F)=P(ABC)=P(A)PA(B)PAB(C).

Найдем вероятности: P(A)=…, PA(B)=…, PAB(C)=….

Тогда

…=…

3. На отрезке единичной длины наудачу поставлены две точки, в результате чего этот отрезок оказывается разделенным на три части. Определить вероятность того, что длина каждой из трех получившихся частей не меньше 2/3.

Решение:

Пусть x и y – положение точек от начала отрезка. Рассмотрим 2 случая:

а) x<y

В этом случае длины отрезков будут равны x, y-x и 1-y. По условию все три отрезка должны быть не меньше 2/3,  x2/3, y-x2/3 и 1-y2/3 или x2/3, y2/3+x и y1/3. Эти неравенства несовместны: из первых двух неравенств получаем, что y4/3, что противоречит третьему неравенству.

б) xy

В этом случае длины отрезков будут равны y, x-y и 1-x. По условию все три отрезка должны быть не меньше 2/3,  y2/3, x-y2/3 и 1-x2/3 или y2/3, yx-2/3 и x1/3. Эти неравенства несовместны: их последних двух неравенств получаем, что y-1/3, что противоречит первому неравенству и условию неотрицательности переменных.

Таким образом, вероятность того, что длина каждой из трех получившихся частей не меньше 2/3, будет равна 0.

4. Вероятность изготовления некачественной детали равна 0,2. Найти вероятность того, что из 4 деталей найдется хотя бы одна качественная.

Решение:

Найдем вероятность противоположного события, т.е. вероятность того, что среди 4 деталей не будет ни одной качественной. По формуле Бернулли эта вероятность будет равна:

Тогда вероятность того, что из 4 деталей найдется хотя бы одна качественная, будет равна:

P(хотя бы одна)=1-P(ни одной)=1-P4(4)=1-0,0016=0,9984

5. Запрос абонента автоматически с равными вероятностями направляется на один из двух серверов. Вероятность возникновения сбоя в работе первого сервера равна 0,1, второго — 0,01. Какова вероятность того, что запрос будет обслужен без сбоя? Какова вероятность того, что абонент обслуживался на первом сервере, если известно, что он был обслужен без сбоя?

Решение:

Рассмотрим гипотезы:

H1 – запрос абонента был направлен на первый сервер

H2 – запрос абонента был направлен на второй сервер

и событие A – запрос был обслужен без сбоя

Тогда

…=…

…=…

Гипотезы H1 и H2 образуют полную группу, поэтому по формуле полной вероятности имеем:

…=…

Т.к. запрос был обслужен без сбоя, т.е. событие А произошло, то вероятности гипотез можно определить по формуле Байеса:

6. Вероятность попадания в мишень равна 0,8 при каждом выстреле. Стрельба ведется одиночными выстрелами до первого попадания, пока не будет израсходован боезапас. Найти ряд распределения, математическое ожидание и дисперсию числа произведенных выстрелов, если боезапас составляет 4 единицы. Построить график функции распределения.

Решение:

Закон распределения дискретной случайной величины определяется парами значений – значением случайной величины и вероятностью, с которой это значение может быть принято.

Определим возможные значения случайной величины Х – числа произведенных выстрелов и их вероятности:

…=…

при первом выстреле произошло попадание.

…=…

в первый раз промахнулись, а во второй – попали.

Аналогично

…=…

Наконец

…=…

чтобы сделать четвертый выстрел, нужно промахнуться первые три раза.

Запишем ряд распределения

x 1 2 3 4

p 0,8 0,16 0,032 0,008

Найдем математическое ожидание и дисперсию:

…=…

Составим функцию распределения:

Построим ее график:

7. Точку бросают наудачу в шар радиуса R. Случайная величина ξ — расстояние от точки до центра шара. Найти функцию распределения, плотность распределения, математическое ожидание и стандартное отклонение случайной величины ξ. Найти вероятность того, что ξ примет значение, большее половины радиуса шара. Начертить графики плотности распределения и функции распределения.

Решение:

Пусть точка имеет координаты (x;y;z). Случайная величина ξ - расстояние от точки (x;y;z) до центра шара….

…=…

Если ξ0, то F(ξ)=0

Если 0