Вариант 1. Определить множество всех точек, удовлетворяющих данным соотношениям, и построить их на комплексной

Фрагмент работы:

№1.

Определить множество всех точек, удовлетворяющих данным соотношениям, и построить их на комплексной плоскости.

…

Решение:

Преобразуем соотношение:

…

Получили каноническое уравнение эллипса с полуосями 2,5 и 1,5. Изобразим это на комплексной плоскости.

…

№2.

Вычислить значения алгебраических функций (ответ дать в алгебраической форме).

a)... b)...

Решение:

a)

…

b) извлечение корня n-й степени из комплексного числа выполняется по формуле:

=...

…

находим из выражений:....... Значит...

Тогда:

k=0,1

№3.

Найти значение параметра a, при котором данная функция является гармонической, и найти аналитическую функцию f(z), удовлетворяющую условию f(z0)=w0, действительной u(x,y) или мнимой v(x,y) частью которой является данная функция.

…

Решение:

Чтобы функция была гармонической, должно выполняться равенство:

…

Тогда

==>...

…

Из условий... и... находим:

(1)

(2)

Интегрируем первое уравнение по x:

…

Продифференцируем полученное выражение по y и подставим во второе уравнение:

==>

…

Построим аналитическую функцию:

…

Определим постоянную С из условия f(0)=1:

…

Тогда

…

№4.

Вычислить интегралы (замкнутые кривые обходятся против часовой стрелки).

a)..., l:...; b)....

Решение:

a)..., l:...

Перейдем к криволинейным интегралам по формуле:

…

Учитывая, что..., получим:

…

Параметрическое уравнение окружности... будет......, где.... Тогда:

…

b)

…

№5.

Разложить данную функцию в ряд Лорана в заданном кольце комплексной плоскости. Указать область сходимости полученного ряда.

;...

Решение:

Функция f(z) имеет 2 особые точки z1=1 и z2=-2. Внутри кольца... не лежит ни одной особой точки. Таким образом, функция аналитична в этом кольце и, следовательно, разложима в нем в ряд Лорана. Найдем это разложение:

…

Имеем систему для нахождения A и B:

…

Тогда

…

№6.

Вычислить интеграл с помощью вычетов.

…

Решение:

Подынтегральная функция аналитична везде, кроме точки z0=0. Найдем вычет функции в точке z0=0. Для этого разложим подынтегральную функцию в ряд Лорана:

…

Отсюда....

Тогда

…

№7.

Найти изображение: a) оригинала f(t), используя таблицу оригиналов и изображений и указать примененные свойства; b) оригинала h(t), заданного графически.

a)... b)

Решение:

a)...

воспользуемся следующими свойствами:

линейность изображения:...

дифференцирование изображения:...

Т.к...., то....

Воспользовавшись свойством дифференцирования изображения, получим:

…

b)

Зададим функцию f(t) аналитически:

…

Запишем эту функцию одним выражением с помощью функции Хевисайда:

…

Используя теорему запаздывания, получим:

…

№8.

Решить систему дифференциальных уравнений операторным методом.

…

Решение:

Пусть....... Перейдем к системе уравнений в изображениях:

…

Найдем решение этой системы:

…

Перейдем от изображений к оригиналам. Для этого разложим дроби н простые слагаемые:

…

==>...

…

==>...

Тогда:

…

№9.

Решить дифференциальное уравнение, используя интеграл Дюамеля. Ответ можно оставить в виде интеграла, не вычисляя его.

…

Решение:

Найдем сначала решение уравнения:..., удовлетворяющее условиям.... Перейдем к уравнению в операционной форме:

…

Отсюда

==>...

Перейдя от изображения к оригиналу, получим:....

Тогда

…