Вычислить двойной интеграл, если область D образует треугольник с вершинами A , B , C

  • ID: 38652 
  • 9 страниц

Фрагмент работы:

Задача 1

Вычислить двойной интеграл , если область D образует треугольник с вершинами A(-3;2), B(3;-1), C(1;-2).

Решение:

Построим область интегрирования:

Составим уравнения прямых по 2-м точкам:

Тогда

Задача 2

Закон распределения системы двух случайных величин (X,Y) задан следующей таблицей

X\Y -4 -3 -2 1

0 0,05 0 0,1 0

1 0,2 0,05 0 0,1

2 0,1 0,05 0,05 0,05

3 0 0,1 0,05 0,1

Найти а) законы распределения случайных величин X и Y; б) условный закон распределения случайной величины X при условии, что Y=1; математические ожидания M(X), M(Y) и центр рассеивания; г) дисперсии D(X), D(Y); е) корреляционный момент Cxy и коэффициент корреляции rxy.

Решение:

а) Запишем законы распределения случайных величин X и Y:

Y -4 -3 -2 1 …

p 0,35 0,2 0,2 0,25

б) Условный закон распределения случайной величины X при условии, что Y=1:

в) Математические ожидания равны:

...

г) Определим дисперсии

д) Рассчитаем корреляционный момент

Коэффициент корреляции rXY равен

Задача 3

В результате испытания случайная величина X приняла следующие значения:

X1=1, X2=5, X3=4, X4=3,

X5=9, X6=7, X7=8, X8=7,

X9=2, X10=9, X11=8, X12=5,

X13=2, X14=6, X15=5, X16=9.

Требуется: а) построить статистическое распределение; б) изобразить полигон распределения; в) построить эмпирическую функцию распределения; г) считая величину X непрерывной, составить таблицу статистического распределения, разбив промежуток (0;10) на пять участков, имеющих одинаковые длины; построить гистограммы относительных частот.

Решение:

а) Построим статистическое распределение

б) Построим полигон распределения

в) Построим эмпирическую функцию распределения

г) Разобьем промежуток (0;10) на 5 участков одинаковой длины

Интервал Частота

mi Относительная частота

Wi Плотность относительной частоты

Построим гистограмму относительных частот

Задача 4

Даны 15 выборочных значений X1, X2, . . . , X15

1,578 2,298 1,874 2,103 2,385

1,860 1,792 2,232 2,355 2,177

2,078 1,950 1,868 1,976 2,449

случайной величины X , имеющей нормальный закон распределения с неизвестными параметрами a и ?2. Требуется: а) вычислить точечные оценки a*, (?2)* параметров a и ?2, принимая a* = , (?2)* = (?*(X))2; записать функцию плотности и найти P (X > 2); б) построить доверительные интервалы для параметров a и ? с надежностью 0,99; в) используя ?2 -критерий и критерий согласия Колмогорова-Смирнова с уровнем значимости ? = 0,1, оценить согласованность эмпирического и теоретического законов распределения, разбив

интервал ( - 1; + 1) на 5 равных частей.

Решение:

а) Определим точечные оценки математического ожидания и дисперсии

Запишем функцию плотность распределения:

б) Построим доверительные интервалы

Найдем интервальную оценку для генеральной средней:

Найдем интервальную оценку дисперсии:

По таблице критических точек распределения находим, что =29,14, а …

в)

Составим интервальный ряд распределения

xi ni

Проверим гипотезу о соответствии выборочных данных нормальному распределению с помощью критерия ?2. Определим концы интервалов по формуле , для чего составим таблицу:

Найдем теоретические вероятности pi и теоретические частоты . Результаты расчетов запишем в таблицу

Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона . Для этого составим таблицу:

=0,6418

Проверим гипотезу о соответствии выборочных данных нормальному распределению с помощью критерия Колмогорова-Смирнова.

Для этого заполним вспомогательную расчетную таблицу:

Задача 5

По данным корреляционной таблицы

X\Y 10 20 30 40 50 nx

4 2 2

9 3 7 10

14 3 2 1 6

19 50 10 4 64

24 2 6 7 15

29 3 3

ny 5 10 54 17 14 n=100

а) найти условные средние и ; б) оценить тесноту линейной связи между случайными величинами X и Y , а также обоснованность связи между этими величинами; в) составить уравнения линейной регрессии Y по X и X по Y ; г) сделать чертеж, нанеся на него условные средние и прямые регрессии.

Решение:

а) Находим условные средние:

б) Оценим тесноту линейной между случайными величинами X и Y. Для этого заполним две вспомогательные таблицы:

x nx x?nx x2?nx

y ny y?ny y2?ny

Найдем параметры, необходимые для расчета коэффициента корреляции.

...

Тогда коэффициент корреляции будет равен

Находим линейное уравнение регрессии Y по X:

...

Находим линейное уравнение регрессии X по Y:

Изобразим полученные результаты графически: