Задачи 8, 9, 10. Найти общее или, если даны начальные условия, частное решение уравнения

  • ID: 38573 
  • 4 страницы

Фрагмент работы:

Задачи 8, 9, 10. Найти общее или, если даны начальные условия, час…

Задание 5. Найти общее или, если даны начальные условия, частное решение уравнения.

Решение:

Перепишем уравнение в виде:

Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Проинтегрируем обе части равенства:

Преобразуя, получим:

Общее решение имеет вид:

Задание 6.

Решение:

Уравнение не содержит явно..., поэтому сделаем замену......, тогда

уравнение примет вид:

Замена:....

Получим:

- линейное уравнение относительно переменной t.

Тогда решение уравнения будем искать в виде....

Получим после подстановки:....

Пусть..., тогда....

Интегрируя обе части равенства, получим:

Подставляя в исходное уравнение, получим:

Тогда...

Общее решение примет вид:....

Возвращаясь к старым переменным, получим:....

Так как....

Тогда:

Используя начальные данные, получим:

Общее решение:....

Частное решение:....

Задание 7.

Решение:

Уравнение явно не зависит от x. Полагаем....

Тогда уравнение после замены примет вид:....

Получим:....

Возвращаясь к исходным переменным, получим:

Общее решение:....

Частное решение:

Задание 8.....

Решение:

Решаем однородное уравнение:.... Составим характеристическое уравнение

Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:....

Полагаем..., тогда получим систему уравнений для определения неизвестных параметров:

Получим:

Подставляя... в..., получим:

Ответ:....

Задание 9. Найти общее решение... при начальных условиях

Решение:

Решаем однородное уравнение:.... Составим характеристическое уравнение

Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:....

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:

Подставляем и получим:...

откуда....

Тогда.... Общее решение:... и....

Ищем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям...:

Находим, что.......

Окончательно, получим:...

Ответ:

Общее решение:....

Частное решение:....

Задание 10. Найти общее решение....

Уравнение не содержит явно..., поэтому сделаем замену......, тогда

уравнение примет вид:... - линейное уравнение относительно переменной z. Тогда решение уравнения будет искать в виде....

Получим после подстановки:.... (1)

Пусть..., тогда.... Подставляя в исходное уравнение, получим:

интегрируя обе части равенства, получим:...Тогда....

Так как..., то получим:

Тогда

Общее решение примет вид:...... - постоянные.