Задачи 8, 9, 10. Найти общее или, если даны начальные условия, частное решение уравнения

  • ID: 38573 
  • 4 страницы

Фрагмент работы:

Задание 5. Найти общее или, если даны начальные условия, частное решение уравнения.

Решение:

[image]

Перепишем уравнение в виде:

[image].

Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Проинтегрируем обе части равенства:

[image].

Преобразуя, получим:

[image].

Общее решение имеет вид:

[image].

Задание 6.

[image].

Решение:

Уравнение не содержит явно [image], поэтому сделаем замену [image], [image], тогда

уравнение примет вид:

[image].

Замена: [image].

Получим:

[image] - линейное уравнение относительно переменной t.

Тогда решение уравнения будем искать в виде [image].

Получим после подстановки: [image].

Пусть [image], тогда [image].

Интегрируя обе части равенства, получим:

[image].

Подставляя в исходное уравнение, получим:

[image].

Тогда [image]

Общее решение примет вид: [image].

Возвращаясь к старым переменным, получим: [image].

[image]. Так как [image].

Тогда:

[image]

[image].

Используя начальные данные, получим:

[image].

Общее решение: [image].

Частное решение: [image].

Задание 7.

[image]

Решение:

Уравнение явно не зависит от x. Полагаем [image].

Тогда уравнение после замены примет вид: [image].

Получим: [image].

Возвращаясь к исходным переменным, получим:

[image]

[image].

Общее решение: [image].

Частное решение:

[image].

[image].

[image].

Задание 8. [image].

Решение:

Решаем однородное уравнение: [image]. Составим характеристическое уравнение

[image], [image]. Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид: [image].

Полагаем [image], тогда получим систему уравнений для определения неизвестных параметров:

[image]

Получим:

[image][image]Подставляя [image] в [image], получим:

[image].

Ответ: [image].