Шифр 47: задание 8. Даны вершины треугольника. Сделать чертеж и найти. Длину стороны АВ; Внутренний угол при вершине

  • ID: 38481 
  • 11 страниц

Фрагмент работы:

Задача 1. Даны вершины треугольника:

Сделать чертеж и найти:

1. Длину стороны АВ;

2. Внутренний угол при вершине А;

3. Уравнение высоты, проведенной через вершину С;

4. Уравнение медианы, проведенной через вершину В;

5. Точку пересечения медианы ВЕ и высоты СD;

6. Длину высоты, опущенной из вершины С.

Решение. Построим точки (12;-2), (4;4), (8;6) в прямоугольной системе координат Oxy и, соединив их, получим треугольник АВС. Проведем высоту СD и медиану ВЕ, уравнения которых необходимо найти. Причём, [image], а точка Е – середина отрезка АС.

[image]

1. Длину стороны АВ находим как расстояние между двумя точками А(12;-2) и В(4;4):

[image]

2. Отметим, что угол А в треугольнике является острым. Тангенс этого угла можно найти по формуле:

[image]

Найдем угловые коэффициенты прямых:

[image].

Тогда, [image].

С помощью калькулятора или по таблице Брадиса определяем, что такое значение тангенса соответствует углу [image]А[image]10,30.

3. Уравнение высоты СD запишем в виде уравнения пучка прямых, проходящих через точку С: [image].

По условию перпендикулярности СD и АВ: [image].

Ранее (см. п. 2) было найдено: [image], тогда, [image].

Подставим в уравнение [image], получим [image].

В итоге получим: [image] – уравнение высоты СD.

4. Медиана ВЕ соединяет вершину В с точкой Е, которая является серединой отрезка АС. Координаты точки Е:

[image]

Составим уравнение медианы ВЕ по двум точкам B(4;4) и E(10;2), воспользовавшись формулой:

[image] – уравнение медианы ВЕ.

5. Координаты точки пересечения высоты CD и медианы ВЕ найдем, решив систему уравнений для прямых СD и ВЕ:

[image]

В результате получим точку пересечения [image], координаты которой соответствуют точке на чертеже.

6. Длину высоты найдем как расстояние от точки С до прямой АВ по формуле:

[image]

Уравнение прямой АВ составим, используя уравнение пучка прямых:

[image] - уравнение прямой АВ.

Тогда,

[image].

Задача 2. Показать, что система линейных уравнений имеет единственное решение, и найти его двумя способами: а) по правилу Крамера; б) матричным способом

[image]

Решение:

а) решим эту систему по формулам Крамера

Найдем главный определитель системы