Контрольная работа 3: задачи 282, 302, 312, Контрольная работа 4: задачи 232, 252, 262, 372, 392

Фрагмент работы:

№ 232. Дано.... Показать, что....

Вычислим:

Тогда:...

верно.

№ 242. Дана функция... и две точки... и.... Требуется вычислить

приближенное значение... функции в точке В, исходя из значения... функции в

точке А и заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В

дифференциалом; оценить в процентах относительную погрешность

получающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; составить

уравнение касательной плоскости к поверхности... в точке....

Дана функция... и точки.......

1. Вычислим приближенное значение... функции в точке В.

2. Вычислим приближенное значение....

Используем формулу:...

где....

…

Тогда подставил вычисленные значения в исходную формулу и получим:

…

3. Оценим погрешность в (%):

4. Составим уравнение касательной плоскости:

Уравнение имеет вид:...

В нашем случае имеем:... или

- уравнение касательной плоскости.

№ 252. Найти наименьшее и наибольшее значение функции

в области D:...

Построим исследуемую область:

…

Если экстремальное значение функции достигается во внутренней точке области, то по необходимому условию экстремума эта точка должна быть критической. Ищем все критические точки внутри области D:

…

Решением системы уравнений является точка.......

Исследуем поведение на границе:

1. При.........

Точка...... - уже рассмотрена.

2. Пусть.......... Критические точки функции одной переменной определяем из решения уравнения:....

Точка рассмотрена......- уже рассмотрена.

3. Пусть....... Критические точки функции

одной переменной определяем из решения уравнения:.......

Получим точки.......

4. Точки, получаемые пересечение кривых...:

Сравнивая значения..., получим, что

Наибольшее значение....

Наименьшее значение....

№262. Дана функция... и точка....

Найти: а) градиент данной функции в точке A;

б) производную данной функции в точке A по направлению вектора....

Решение:

а) Найдем частные производные, используя формулу...:

Вычислим значения...... в точке...:....

Вектор-градиент равен:....

б) Найдем направляющие косинусы вектора...:

Подставим все найденные значения в формулу для производной по направлению:

Ответ:.......

№ 282. Найти неопределённый интеграл. В пунктах а) и б) результаты проверить

дифференцированием.

а)...

Проверка:

б)

…

Проверка:...

в)...

Решая систему уравнений, получим:...

…

г)......

№ 302. Вычислить интеграл или доказать расходимость несобственного интеграла.

интеграл сходится.

№ 312. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды:... и..., причем... и осью Ox....

№ 372. Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнение в декартовых координатах (а > 0)

Решение:

Задана кривая вида:...

Построим график функции для...:

…

Воспользуемся формулой для вычисления площади ограниченной кривыми:

Перейдем к полярным координатам:

…

В итоге получим:

Получим:

Графиком функции является эллипс.....

Тогда.

…

Ответ:....

№ 392. Вычислить криволинейный интеграл:... вдоль ломаной L = OAB, где.......... Сделать чертеж.

Решение:

Выполним рисунок к заданию:

…

Вычислим уравнение прямой AB:

Получим:....

…