Контрольная работа 3: задачи 282, 302, 312, Контрольная работа 4: задачи 232, 252, 262, 372, 392

Фрагмент работы:

№ 232. Дано [image]. Показать, что [image].

Вычислим:

[image], [image],

Тогда: [image]

[image] верно.

№ 242. Дана функция [image] и две точки [image] и [image]. Требуется вычислить

приближенное значение [image] функции в точке В, исходя из значения [image] функции в

точке А и заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В

дифференциалом; оценить в процентах относительную погрешность,

получающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; составить

уравнение касательной плоскости к поверхности [image] в точке [image].

Дана функция [image] и точки [image], [image].

Вычислим приближенное значение [image] функции в точке В.

[image]

Вычислим приближенное значение [image].

Используем формулу: [image],

где [image].

[image]

Тогда подставил вычисленные значения в исходную формулу и получим:

[image]

Оценим погрешность в (%):

[image]

Составим уравнение касательной плоскости:

Уравнение имеет вид: [image]

В нашем случае имеем: [image] или

[image] - уравнение касательной плоскости.

№ 252. Найти наименьшее и наибольшее значение функции

[image] в области D:[image]

Построим исследуемую область:

[image]

Если экстремальное значение функции достигается во внутренней точке области, то по необходимому условию экстремума эта точка должна быть критической. Ищем все критические точки внутри области D:

[image]

Решением системы уравнений является точка [image], [image].

Исследуем поведение на границе:

1. При [image], [image], [image]

Точка [image], [image] - уже рассмотрена.

2. Пусть [image], [image], [image]. Критические точки функции одной переменной определяем из решения уравнения: [image].

Точка рассмотрена [image], [image]- уже рассмотрена.

3. Пусть [image], [image]. Критические точки функции

одной переменной определяем из решения уравнения:[image], [image].