Контрольная работа 3, 4: вариант 5

  • ID: 38305 
  • 5 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа 3, 4: вариант 5

№ 135. Найти неопределённый интеграл. В пунктах а) и б) результаты проверить

дифференцированием.

а)...

Проверка:

б)

Проверка:...

верно.

в)......

Решая систему уравнений, получим:...

г)....

№ 145. Вычислить интеграл или доказать расходимость несобственного интеграла.

интеграл расходится.

№ 155. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оx фигуры, ограниченной кривыми:... и....

Выполним чертеж:

Найдём точки пересечения кривых:............

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Оx вычисляется по формуле:

Получим:

Тогда:...

№ 165. Найти общее решение...

Данное уравнение является однородным. Замена... или....

Подставим в исходное уравнение и получим уравнение вида:

или....... Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, то есть:..., интегрируя обе части равенства, получим:.... В итоге получим:.......

Тогда возвращаясь к старым переменным, получим окончательно:....

Общее решение примет вид:....

№ 175. Найти общее решение дифференциального уравнения....

Данное уравнение является линейным относительно переменной y. Тогда решение уравнения будет искать в виде....

Получим после подстановки:.... (1)

Пусть..., тогда.... Интегрируя обе части равенства, получим:

или..., где........ Подставляя в (1), получим:

или..., интегрируя обе части равенства, получим:........ Тогда....

Общее решение примет вид:....

№ 185. Найти общее решение... (1)

Уравнение не содержит явно..., поэтому сделаем замену......, тогда уравнение примет вид:... - уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, то есть:.... Интегрируя обе части равенства, получим:....

где.... Преобразуя, получим уравнение:....

Возвращаясь к старой замене, получим:.... Окончательно имеем:....

Интегрируя обе части равенства, получим:....

Общее решение примет вид:....

№ 195. Найти общее решение... при начальных условиях

Решаем однородное уравнение:.... Составим характеристическое уравнение

Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:....

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:..........

Подставляем и получим:..., откуда.... Тогда....

Общее решение:... и....

Ищем решение, удовлетворяющее начальным условиям...:

Находим, что.......

Окончательно, получим:....

№ 205. Найти общее решение... системы дифференциальных уравнений.

Дифференцируем первое уравнение и подставляем в первое:..., но... и..., тогда....

Получим.... Составим характеристическое уравнение

Тогда....

Соответственно...

Общее решение примет вид:...

№ 215. Дано.... Показать, что....

Вычислим:

Тогда:... верно.

№ 225. Найти наименьшее и наибольшее значение функции

в области D:...

Построим исследуемую область:

Ищем критические точки внутри области:

Решением системы уравнений является точка... и....

Исследуем поведение на границе:

1. При......... точка... уже рассмотрена.

2. При............ и...

3. При.............

Получим точки....

4. В условных точках:

Сравнивая значения..., получим, что

Наибольшее значение....

Наименьшее значение....

Определим характер критических точек... и....

Проверим достаточные условия:

значит в точке... нет экстремума.

значит...есть экстремум и это максимум так как...

Ответ:....